Black and Scholes

Simulação de Monte Carlo

Simulação de Monte Carlo

Em artigo anterior, sobre processos estocásticos, fizemos uso de uma poderosa ferramenta computacional, frequentemente utilizada em finanças para fazer simulações. Naquele artigo simulamos cinco realizações de caminhos de um processo estocástico, cada um com 500 passos a frente. Esta técnica é conhecida como Simulação de Monte Carlo – SMC e será abordada no presente artigo.

Neste artigo também iremos introduzir, no corpo do texto, os códigos em linguagem R utilizados para fazer as simulações, aumentando a didática de nossos artigos. A linguagem R é uma das preferidas para a modelagem estatística, é uma das linguagens de ciência de dados que vem ganhando muitos adeptos e, por conseguinte, é amplamente utilizada pelo mercado financeiro. E claro, é uma das preferidas aqui do CF também.

Nosso problema será simular a posição de um portfólio composto por uma posição comprada em uma ação PETR4 e uma put PETRV17. A opção de venda (put) tem preço de exercício em R$ 16,92, data de expiração em 15/10/2018 e é do tipo europeia. Ao final do pregão do dia 21/09/2018 a ação PETR4 fechou cotada a R$ 20,14 e a put em R$ 0,12. A partir desta data até o dia da expiração da opção haverão 16 dias de pregão, que será nosso horizonte de simulação.

Para melhoria da didática do texto e também para simplificação do problema, manteremos algumas variáveis necessárias para a precificação de opções constantes ao longo do período de análise, são elas:

  • Volatilidade: Será calculada a volatilidade implícita da opção da data de compra do portfólio, 21/09/2018, e será mantida constante a partir daí para fins de precificação na SMC;

  • Taxa de juros: constante no valor de 6,5 %a.a. tem termos contínuos;

  • Taxa de dividendos: suposto igual a zero.

Simulação de Monte Carlo

Para realizar uma SMC de um ativo financeiro deve-se primeiramente estabelecer uma distribuição de probabilidades que os retornos deste ativo deve seguir. Em nosso exemplo, utilizaremos a distrbuição normal para os retornos logarítimicos da ação PETR4, em linha com o clássico modelo Black & Scholes, certamente existem diversas variantes que se ajustam melhor a realidade dos mercados, entretanto este é o modelo mais conhecido e base de todos os demais.

Uma vez escolhida a distribuição dos (log) retornos, tem-se de escolher valores para a média e variância desta distribuição. A média dos retornos iremos tirar do histórico da ação, o retorno médio diário dos último ano. A variância da distribuição será encontrada a partir da volatilidade implícita da opção na data de compra do portfólio. A função utilizada para encontrar esta volatilidade retorna um valor em termos anuais, portanto, conforme visto no artigo sobre processos estocásticos devemos reescalar uma volatilidade anual para diária, e isto é obtido fazendo a divisão por \(\sqrt{252}\), onde temos 252 dias úteis em 1 ano.

Desta forma é possível fazer a simulação dos log-retornos da ação para cada um dos dias a frente, até a data de exercício da opção, 15/10/2018. Estes retornos são acumulados e o preço simulado da ação PETR4 em uma data intermediária é o preço de compra vezes o retorno acumulado até então.

Faremos 1.000 simulações destas, gerando caminhos possíveis de preços para a ação. É necessário fazer muitas simulações para termos uma boa ideia da distribuição dos preços na data final, não é raro serem feitas mais de mil simulações, as vezes até dez mil podem ser necessárias.

Uma vez gerados todos os caminhos simulados do preço do ativo objeto, podemos então precificar a put com base nestes preços simulados e as outras variáveis necessárias para se precificar uma opção europeia. Assim teremos também todos os caminhos de preço para a opção até sua data de exercício.

O valor de nosso portfólio, em qualquer ponto do intervalo de tempo em análise, será a soma do preço da ação com o preço da opção e será possível verificar o efeito de proteção contra quedas do preço do ativo objeto a compra da put tem no portfólio.

Cabe ressaltar aqui que o preço da opção não é simulado, não diretamente. Como a opção é um instrumento derivativo o seu preço “deriva” do preço do ativo objeto, este sim que é simulado. Uma vez que tenhamos o preço da ação, dadas nossas premissas de precificação, podemos calcular o prêmio da opção com base no modelo Black & Scholes.

Implementação em R

Conforme comentado, utilizamos aqui no CF a linguagem de programação R para realizar nossas atividades que envolvam métodos quantitativos em finanças. Abaixo irei apresentar o código utilizado, trecho a trecho e o resultado obtido ao final.

Primeiramente, no R, devemos carregar em nossa sessão de trabalho os pacotes que serão utilizados ao longo do código. Os pacotes funcionam como extensões ao R base, nestes pacotes encontramos diversas funções já programadas por outras pessoas que facilitam (e muito!) a nossa codificação.

library(tidyverse)
library(ggthemes)
library(tidyquant)
library(RQuantLib)

O pacote RQuantLib, por exemplo, possui já implementado dentro dele funções para fazer a precificação de opções europeias, sem que se tenha que implementar o modelo manualmente. Como a intenção deste artigo não é explicar o modelo Black & Scholes, vamos abstrair esta parte e simplesmente chamar uma função que nos retorna o valor da opção dadas as variáveis de entrada.

Em seguida iremos definir algumas de nossas variáveis, como o ticker da ação para buscar seus dados históricos através da função tq_get() do pacote tidyquant e calcular os retornos logarítimicos e tirar sua média, o preço e data de exercício da opção e também iremos relacionar os dias de negócio entre a data de compra e vencimento.

acao <- "PETR4.SA"
p_exer <- 16.92
d_exer <- as.Date("2018-10-15")
d_atual <- as.Date("2018-09-21")
dias <- seq(d_atual, d_exer, by = 1)
dias <- dias[isBusinessDay("Brazil", dias)]
nsims <- 1000
ndias <- length(dias) - 1
sim_nomes <- paste0("sim", 1:nsims)

# Carregar os precos historicos da acao
p_hist <- tq_get(acao, from = d_atual - years(1), to = d_atual + days(1)) %>% 
  filter(volume != 0.0)
ret_hist <- p_hist %>% 
  tq_mutate(select = adjusted,
            mutate_fun = periodReturn,
            period = "daily",
            type = "log",
            leading = FALSE,
            col_rename = "log_ret") %>% 
  na.omit()
rf <- log(1 + 0.065)
div <- 0
S0 <- last(ret_hist$adjusted)
P0 <- 0.12
mi <- 252 * mean(ret_hist$log_ret) # retorno medio em termos anuais
sigma <- EuropeanOptionImpliedVolatility("put", P0, S0, p_exer, div, rf, 
                                         (ndias + 1) / 252, 0.30)

Com o código acima obtemos basicamente todos os dados com os quais poderemos implementar a simulação de Monte Carlo. Entretanto, para realizar as simulações, necessitamos especificar mais algumas funções customizadas para nossas necessidades.

Primeiro iremos especificar uma função que retorna uma única simulação de log-retornos acumulados em uma coluna de dados, esta função é chamada de mc_sim_fun. A segunda função necessária é a função de precificação da opção europeia. Por padrão, a função do pacote RQuantLib EuropeanOption() retorna uma lista com o valor da opção, mas também todas as suas gregas. Também de forma um tanto quanto estranha, esta função retorna o valor zero na data de exercício, mesmo que a opção esteja In-The-Money, portanto é necessário modificar este comportamento.

# Funcao para realizar uma simulacao
mc_sim_fun <- function(valor_i, N, media, volat){
  med_d <- media / 252
  volat_d <- volat / sqrt(252)
  ans <- tibble(c(valor_i, rnorm(N, med_d - (volat_d^2 / 2), volat_d))) %>% 
    `colnames<-`("log_ret") %>%
    mutate(ret_ac = cumsum(log_ret)) %>% 
    select(ret_ac)

  return(ans)
}

# Funcao para precificar uma opcao europeia
eur_option <- function(type, underlying, strike, dividendYield, riskFreeRate, 
                       maturity, volatility) {
  if (maturity == 0.0) {
    ans <- switch(type,
                  put = max(strike - underlying, 0),
                  call = max(underlying - strike, 0))
    return(ans)
  }

  ans <- EuropeanOption(type = type,
                        underlying = underlying,
                        strike = strike,
                        dividendYield = dividendYield,
                        riskFreeRate = riskFreeRate,
                        maturity = maturity,
                        volatility = volatility)$value
  return(ans)
}

Uma vez com os dados obtidos e as funções auxiliares programadas, podemos passar a SMC propriamente dita. Aqui vamos estabelecer o número de simulações (1.000), calcular um data frame com os log-retornos acumulados e então calcular o preço da ação para cada dia e simulação realizados. O preço da ação na data \(t\) será \(S_t=S_0 e^{r_t}\), onde \(r_t\) é o log-retorno acumulado até a data \(t\).

Após termos todos os preços do ativo objeto, passamos a computar qual seria o preço da opção, \(P_t\), naquelas condições. O valor do portfólio é dado pela soma destes dois preços (lembre-se, nosso portfólio é composto por uma ação e uma opção de venda).

# Simulacao de Monte Carlo
# Valores Iniciais
inic <- rep(0, nsims) 
set.seed(12345)
ret_ac_mc <- map_dfc(inic,
                     mc_sim_fun,
                     N = ndias,
                     media = mi,
                     volat = sigma)

precos_acao <- (S0 * exp(ret_ac_mc)) %>% 
  set_names(sim_nomes) %>% 
  mutate(anos_exp = (ndias:0) / 252) %>% 
  gather(key = sims, value = St, -anos_exp)

# Evolucao do Portfolio
port_mc <- precos_acao %>% 
  mutate(Pt = map2_dbl(St, anos_exp, 
                       ~eur_option(type = "put",
                                   underlying = .x,
                                   strike = p_exer,
                                   dividendYield = div,
                                   riskFreeRate = rf,
                                   maturity = .y,
                                   volatility = sigma)),
         port_valor = Pt + St,
         data = rep(dias, nsims))
head(port_mc)
##     anos_exp sims       St         Pt port_valor       data
## 1 0.05952381 sim1 20.14000 0.10666291   20.24666 2018-09-21
## 2 0.05555556 sim1 20.56213 0.06610065   20.62823 2018-09-24
## 3 0.05158730 sim1 21.08354 0.03486500   21.11841 2018-09-25
## 4 0.04761905 sim1 21.01296 0.03001788   21.04297 2018-09-26
## 5 0.04365079 sim1 20.69410 0.03266826   20.72677 2018-09-27
## 6 0.03968254 sim1 21.14278 0.01516756   21.15794 2018-09-28

O data frame port_mc contém todas as informações da SMC de nosso portfólio. Contém as datas desde o dia da compra até a data de vencimento da opção e contém todos os caminhos de \(S_t\), \(P_t\) e do portfólio. Vamos plotar os resultados obtidos para a evolução apenas da ação, primeiramente.

brk <- round(sort(c(p_exer, seq(min(port_mc$St),
                                max(port_mc$St),
                                length.out = 5))),
             digits = 2)
ggplot(port_mc, aes(x = data, y = St)) + 
  geom_line(aes(color = sims)) +
  geom_hline(yintercept = p_exer, color = "red") +
  guides(color = FALSE) +
  labs(title = "Simulações do Valor da Ação",
       x = "data",
       y = "Valor (R$)") +
  scale_y_continuous(breaks = brk) +
  scale_x_date(date_breaks = "2 days", date_labels = "%d") +
  scale_color_viridis_d() +
  theme_economist_white()

plot of chunk gr_acao

Podemos verificar pela figura acima que a ação, pela nossa SMC, deve fechar na maioria dos caminhos simulados acima do preço de exercício da put (linha vermelha). Entretanto existe uma menor probabilidade de, até a data de vencimento, o preço da ação cair abaixo do strike desta opção.

Podemos inferir esta probabilidade através do número de caminhos que terminaram em preço da ação abaixo do valor de referência. O custo de proteção contra este risco é o prêmio por nós ao comprarmos a put. O código para esta inferência está abaixo.

p_baixo <- port_mc %>% 
  filter(data == d_exer) %>% 
  summarise(num_baixo = sum(St < p_exer)) %>% 
  as.double()
prob <- p_baixo / nsims

Este cálculo nos mostra que em 82 caminhos simulados do preço de PETR4, este terminou abaixo do preço de exercío da opção PETRV17, ou seja, uma probabilidade de 8.2%.

Para nos precavermos desta possível queda de preço e garantir um valor mínimo de nosso portfólio até a data de 15/10/2018, podemos comprar uma opção de venda, com preço de exercício no valor que desejamos e então o portfólio passa a ser composto pela ação e também pela opção. Caso na data de vencimento o preço da ação seja menor que o preço de exercício da put, esta opção estará ITM e pode ser exercida pelo valor da diferença entre os preços, ou seja, nos garantindo que nosso portfólio estará avaliado em R$ 16,92.

Esta dinâmica pode ser verificada pela figura abaixo, que agora apresenta o valor do portfólio completo, ação mais opção. Verificamos que, de fato, no dia 15/10/2018 nosso investimento não estará em situação pior que o preço garantido pela compra da put.

brk <- round(sort(c(p_exer, seq(min(port_mc$port_valor),
                                max(port_mc$port_valor),
                                length.out = 5)[-1])),
             digits = 2)
ggplot(port_mc, aes(x = data, y = port_valor)) + 
  geom_line(aes(color = sims)) +
  geom_hline(yintercept = p_exer, color = "red") +
  guides(color = FALSE) +
  labs(title = "Simulações do Valor do Portfolio",
       x = "data",
       y = "Valor (R$)") +
  scale_y_continuous(breaks = brk) +
  scale_x_date(date_breaks = "2 days", date_labels = "%d") +
  scale_color_viridis_d() +
  theme_economist_white()

plot of chunk gr_port

Ou seja, ao custo de 0.6% do preço da ação, compramos uma proteção contra uma queda de preços com probabilidade de 8.2%.

Esta é apenas uma (simples) aplicação das inúmeras possíveis que a Simulação de Monte Carlo possui no mundo das finanças. A SMC é uma poderosa ferramenta para avaliação e controle de risco de grandes portfólios, com centenas ou milhares de ativos, onde nem sempre consegue-se aferir medidas de retorno esperado ou de risco de mercado de forma analítica.

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Processos Estocásticos para Finanças: uma introdução

Processos Estocásticos para Finanças: uma introdução

Neste artigo abordaremos um assunto técnico, mas muito utilizado e de fundamental importância para a precificação de instrumentos derivativos. Será apresentado o conceito de processos estocásticos – PE, e sua aplicação no mundo das finanças.

Um processo estocástico é a evolução temporal de uma determinada variável de interesse que pode assumir valores aleatórios em cada ponto no tempo. Em outras palavras, o caminho que a variável segue ao longo do tempo evolui de maneira incerta. Estes processos podem se dar em tempo discreto ou em tempo contínuo. Processo em tempo discreto são aqueles onde o valor da variável pode se alterar somente em intervalos pré-definidos de tempo, por exemplo ao final do dia. Em processos em tempo contínuo, o valor de nossa variável está constantemente em mudança, de forma aleatória seguindo alguma distribuição de probabilidades.

Estes processos são muito importantes em finanças pois, é amplamente aceito que a evolução do preço de ativos financeiros pode ser modelado por um PE em tempo contínuo, sendo este modelo portanto, a base para a teoria de precificação de ativos e da qual os derivativos fazem extenso uso. Aprender sobre a evolução temporal do preço de uma ação através de um processo estocástico é o primeiro passo para saber como atribuir um preço a uma opção sobre esta ação, por exemplo.

Deve ser notado também que apesar de o preço dos ativos serem observados apenas em intervalos discretos de tempo (apenas quando existe transação) e assumirem valores também discretos (múltiplos de um centavo), o preço e sua evolução estão ocorrendo continuamente, nossas observações que são discretas. Desta forma os processos em tempo contínuos são ideais para este tipo de modelagem.

Processos de Markov

Uma primeira definição de deve-se fazer para estudar PE aplicados a evolução do preço de ações é o conceito de processo de Markov. Este tipo de processo é tal que o histórico do processo que o levou até seu estado atual, é irrelevante para a previsão de seu estado futuro. Ou seja, toda a informação da história do processo já está contida no seu valor atual. Quando consideramos que preços de ativos seguem um processo de Markov, estamos assumindo válida pelo menos a forma fraca de mercados eficientes.

Uma implicação desta suposição, verificada empiricamente, é que não se pode obter lucros apenas seguindo padrões históricos do preço e extrapolando-os no futuro. Outra, mais importante para nossos processos, é que as distribuições de probabilidade que a variável aleatória segue em cada ponto no tempo são independentes.

Movimento Browniano

Suponha um processo de Markov, que para fins de simplificação consideraremos em tempo discretos. Se a distribuição de probabilidade para o próximo incremento no valor do processo for uma Normal com média zero e variância unitária, podemos representar este incremento por \(\phi(0, 1)\). Como este é um processo de Markov, o segundo incremento será independente do primeiro e terá novamente a mesma distribuição de probabilidade. Qual seria então, a partir do período inicial até o segundo período, a distribuição de probabilidade dos possíveis valores de nosso hipotético processo? A reposta é a soma de duas normais \(\phi(0, 1)\) que resulta em \(\phi(0, 2)\). Se assim continuarmos a fazer previsões para T períodos a frente, nossa distribuição terá densidade \(\phi(0, T)\).

Para tempos discretos, \(T\in\mathbb{Z}\) este é o processo do passeio aleatório (Random Walk), entretanto para tempo contínuo quando \(T\in\mathbb{R}\) com incrementos acontecendo em intervalos de tempo infinitesimalmente pequenos, este é o Movimento Browniano – MB, que também é largamente conhecido como processo de Wiener.

plot of chunk brownian_plot

A figura acima mostra 5 realizações de um mesmo processo estocástico com média zero e variância unitária. É importante frisar que o processo que gerou as cinco séries é exatamente o mesmo, sendo elas tão distintas umas das outras ou não. Esta é uma importante característica dos processos estocásticos nas aplicações reais, o que nós observamos é apenas uma realização do processo, dentre as infinitas possíveis.

Definição

Agora que já foi passada a intuição sobre processos estocásticos, pode-se partir para definições mais formais sobre estes processos. Vamos adotar a notação do cálculo para tanto, e generalizar nosso MB possibilitando-o que tenha média diferente de zero \(\mu\) e variância qualquer \(\sigma^2\), mantendo estas constantes ao longo do tempo, entretanto. Desta forma um movimento Browniano com deriva pode ser descrito através da seguinte equação diferencial estocástica – EDE:

$$dX_t = \mu dt + \sigma dB_t$$

onde \(dB_t\) é nosso MB padrão em um intervalo de tempo infinitesimal, \(dt\).

O processo \(X_t\) possui uma taxa de deriva (média instantânea) igual a \(\mu\) e volatilidade instantânea igual a \(\sigma\). Quando um PE possui deriva igual a zero, como nosso MB padrão, o valor esperado deste processo para qualquer período futuro será zero. Este fato deixa de ser verdade no processo generalizado, com taxa de deriva diferente de zero. Neste caso o processo evoluirá seguindo uma taxa crescente (se \(\mu > 0\)) ou decrescente (se \(\mu < 0\)). Assim é possível, a partir de um MB padrão, modelar outros PE que possuam tendência temporal e variâncias diferentes.

Movimento Browniano Geométrico

Apesar de o processo \(X_t\) ser bastante flexível e cobrir uma grande gama de usos, ele ainda não é adequado para modelar o preço de ativos, e isto se dá em função de o processo de Wiener, mesmo com deriva positiva, poder atingir valores negativos com probabilidade maior que zero. Isto implicaria na possibilidade do preço de uma ação ser negativo, algo que obviamente não ocorre. Além desta impossibilidade, existe um outro empecilho para se utilizar o MB para modelar o processo de preços, e este é a deriva constante \(\mu\) com relação ao preço da ação.

A deriva pode ser interpretada como o valor esperado do retorno da ação em um dado período de tempo. Este retorno esperado ele é pode ser constante em termos percentuais (em um modelo simplificado), mas não em termos absolutos! Ou seja, dependendo do preço da ação, R$ 1,00 ou R$ 100,00, a deriva \(\mu\) deve ser diferente para que em termos percentuais a relação seja constante.

A solução para estes dois problemas é modelar o preço como um processo estocástico conhecido como Movimento Browniano Geométrico. Ele difere do MB padrão pois assume que o logaritmo da variável aleatória possui distribuição Normal. O MBG é a resolução para a seguinte EDE:

$$dX_t = \mu X_t dt + \sigma X_t dB_t$$

Veja que este é basicamente o mesmo processo MB, porém a deriva, termo que multiplica \(dt\), varia linearmente com o valor do processo (\(\mu X_t\)) assim como a volatilidade instantânea (\(\sigma X_t\)).

A solução para esta EDE, para um valor inicial qualquer de \(X (X_0 > 0)\) é dada por:

$$X_t = X_0\exp\left(\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma B_t\right)$$

A variável aleatória \(X\) segue um MB ao longo de uma trajetória exponencial. É fácil verificar que, por ser exponencial, \(X_t\) nunca terá valor negativo.

Esta é uma forma conveniente de representar a evolução de preços de um ativo pois naturalmente surge o conceito de retornos logarítmicos. O log-retorno de \(X\) é dado por \(r_t=\ln(X_t/X_0)\) de onde inferimos que se o processo de formação de preço de um ativo segue um MBG, então seus log-retornos serão normalmente distribuídos com média \(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\) e volatilidade \(\sigma\) em uma unidade de período considerado. Se escalarmos o período de tempo considerado para \(T\), temos então que os retornos logarítmicos do ativo \(X\) seguem a seguinte distribuição normal:

$$r_T \sim\phi\left(\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T, \sigma^2T\right)$$

Abaixo apresentamos 5 realizações de um MBG com valor de deriva \(\mu = 0,6\% a.p.\) e variância \(\sigma^2=1\% a.p.\).

plot of chunk mbg_plot

O Movimento Browniano Geométrico aqui demonstrado serve de base para o famoso modelo Black & Scholes de precificação de opções, o qual assume que o ativo subjacente à opção (por exemplo, a ação de uma empresa) tem seu preço formado por um processo MBG.

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