Smile de Volatilidade

Reparametrizando B&S e definição de moneyness

Nem sempre é interessante plotar o smile contra os strikes propriamente ditos, uma forma de avaliar o quanto uma opção está “dentro, fora ou no dinheiro” pode ser a grega Delta ou então o chamado moneyness (por favor, se alguém tiver uma boa tradução para este termo, deixe nos comentários). Tradicionalmente a medida de moneyness é a relação \(K/S\), ou seja o strike contra o preço corrente do subjacente. Porém existem outras definições mais interessantes para se trabalhar, entretanto, antes devemos fazer uso de algumas definições e vamos reparametrizar as expressões \(d1\) e \(d2\) do modelo B&S.

Lembrando que em precificação de opções estamos no mundo neutro ao risco, vamos definir o valor forward, \(F\) do subjacente como o valor corrente composto pela taxa livre de risco até a maturidade da opção, ou seja:

\[F=e^{r\tau}S\]

A volatilidade (implícita) total pode ser definida como a volatiliade reescalada pela raiz do tempo, que nos dá uma informação da volatiliade esperada para o subjacente do período corrente até a maturidade. Da mesma forma, a variância total. Denotanto a volatilidade total por \(\theta\) e a variância total por \(w\), temos:

\[\theta=\sigma_{imp}\cdot \sqrt{\tau}\]

e

\[w=\sigma_{imp}^2\cdot\tau\]

Vamos também definir a medida forward log-moneyness e denotá-la por \(k\). Esta será a medida de moneyness que iremos utilizar ao longo deste e de outros artigos, portanto iremos utilizar este termo para designar o forward log-moneyness a não ser que expresso de forma contrária no texto.

\[k=\ln\left(\frac{K}{S}\right)-r\tau=\ln\left(\frac{K}{F}\right)\]

Logo, o strike está relacionado ao moneyness de forma que: \(K=Fe^k\).

Podemos agora reparametrizar as expressões \(d1\) e \(d2\) do modelo B&S de forma que serão mais facilmente trabalhadas em modelos de volatilidade. Lembrando destas expressões que já foram apresentadas em artigo anterior:

\[\begin{aligned} &d_{1}={\frac {\ln(S/K)+(r+\sigma ^{2}/2)(\tau)}{\sigma {\sqrt {\tau}}}}\\ &d_{2}={\frac {\ln(S/K)+(r-\sigma ^{2}/2)(\tau)}{\sigma {\sqrt {\tau}}}}=d_1-\sigma\sqrt{\tau} \end{aligned}\]

Substituindo as expressões para forward log-moneyness e volatilidade total nas definições acima temos as novas parametrizações para \(d1\) e \(d2\):

\[\begin{aligned} &d_{1}={-\frac{k}{\theta}+\frac{\theta}{2}}\\ &d_{2}={-\frac{k}{\theta}-\frac{\theta}{2}}=d_1-\theta \end{aligned}\]

Retomando o valor da opção do tipo Call no modelo B&S, podemos reescrever sua fórmula de apreçamento da seguinte forma:

\[\begin{aligned} C(K, \tau)=&SN(d1)-Ke^{-r\tau}N(d2)\\ e^{r\tau}C(K, \tau)=&FN(d1)-KN(d2)\\ =&F\left[N(d1)-e^kN(d2)\right] \end{aligned}\]

Esta equação é conhecida como a forma de Black de precificação (Black Call price formula), que relaciona os valores forward da opção (também conhecido como valor não descontado), do subjacente e do strike. Esta formulação é particularmente útil quando formos extrair a distribuição neutra ao risco do subjacente que está implícita nos preços de mercado das opções.

Características de smiles de volatilidade

Caso o modelo de Black, Schole e Merton estivesse em acordo com a realidade, e os ativos tivessem seus preços formados a partir de um verdadeiro MBG, a volatilidade implícita seria uma constante. O gráfico do smile de volatilidade seria uma reta horizontal, com a mesma volatilidade para qualquer nível de moneyness e se considerarmos a superfície toda (que leva em conta os diversos tempos para expiração) esta seria paralela ao domínio \((k, \tau)\). Não estaríamos escrevendo (e você lendo) este artigo se este fosse o caso…

O fato é que o modelo B&S é um modelo muito restritivo, com inúmeras suposições que não se verificam no mundo real e que por conseguinte, tornam os resultados do modelo pouco acurados. Entretanto este é um modelo muito conhecido, de fácil assimilação por parte dos agentes de mercado e que virou a língua franca nos mercados de derivativos. Se todos os traders conversarem em termos do modelo B&S, todos se entenderão, mesmo que internamente cada um possua seu próprio modelo de apreçamento.

Entre as características tipicamente observadas em smiles (e superfícies) de volatilidades pode-se citar:

• As volatilidades implícitas variam conforme o strike e prazo de expiração
• Smiles apresentam skew. Maior inclinação em uma das asas, representando uma maior probabilidade daqueles strikes acontecerem
• Smiles de equity tipicamente são negativos
• Mercados diferentes apresentam padrões de smile diferentes

Mercados cambiais

Opções sobre moedas possuem tipicamente um smile de volatilidade conforme mostrado na figura 1 abaixo. A volatilidade implícita é relativamente baixa para opções ATM. Esta torna-se progressivamente maior quando a opção se move para dentro do dinheiro ou para fora.

Figura 1: Smile de volatilidade típico de um mercado cambial.

Caso a distribuição dos preços do ativo subjacente, neste caso uma taxa de câmbio fosse perfeitamente log-normal como no modelo B&S, o smile não teria esta curvatura. Desta forma podemos afirmar que o mercado, ao precificar as opções, acredita que a distribuição deste ativo possui caudas com maior densidade que supõe a log-normal, existem maiores probabilidades de retornos muito baixos ou muito altos.

Mercados de equities

Nos mercados de equities, ações, índices de ações e ETFs, por exemplo, o smile apresenta uma característica de assimetria (skew, em inglês) negativa. A asa esquerda (parte onde as puts estão fora do dinheiro) apresenta valores de volatilidade implícita muito maiores que suas contrapartes no lado das calls. Este comportamento reflete a percepção de mercado de uma maior probabilidade de grandes perdas nas ações que altos ganhos, gerando portanto, uma distribuição de preços assimétrica. Como existe uma maior probabilidade de perdas extremas, o seguro para estas, ou seja, uma put é relativamente mais cara que uma call.

Figura 2: Smile de volatilidade típico de uma ação ou índice de ações.

Smile como forma de precificação

Analisando a equação de B&S com a parametrização para \(d1\) e \(d2\) dada no início deste artigo é possível verificar que existe uma relação direta entre volatilidade implícita e preço de uma opção, seja esta uma call ou put.

Como \(d1\) é estritamente crescente em \(\theta\) e \(d2\) é estritamente decrescente e ao mesmo tempo o preço de uma opção é crescente em d1 e decrescente em d2, logo, temos uma relação direta entre o preço de uma opção e sua volatilidade implícita para uma dada maturidade. Em outras palavras, em um smile, tudo o mais constante, quanto maior a volatilidade implícita maior o preço da opção naquele strike.

Outra forma de verificar esta relação é perceber que a grega Vega, que é calculada da mesma forma para calls e puts, é sempre positiva. Ou seja, um aumento no valor da volatiliade sempre leva a elevações no preço de uma opção.

Desta forma é normal entre os praticantes de mercado fazer a precificação de opções em termos de “pontos de volatilidade” e não em valores monetários propriamente ditos. Isto porque o modelo B&S, apesar de não ser o modelo correto (nenhum é) para a precificação de opções, é conhecido e de fácil entendimento para todos. Então todos os praticantes podem fazer suas cotações em termos de volatilidades implícitas, que são extraídas de opções baunilhas com o modelo B&S, e somente na hora de fechar um negócio e liquidar o pagamento, o preço efetivo a ser pago é acordado entre as partes.

Conclusão

O modelo de Black-Scholes-Merton, pode ser considerado a pedra fundamental para a precifição de opções. Entretanto, este modelo apresenta uma séries de limitações que fazem com que os praticantes de mercado utilizem outras técnicas neste mercado. Uma destas é o uso do smile de volatilidade e sua interpretação como forma de precificar opções e extrair informações implícitas nos preços.

A assimetria do smile e suas asas informam que as distribuições de probabilidades para o ativo subjacente não são exatamente log-normais, e podem apresentar discrepâncias significativas, especialmente nas caudas da distribuição que muito interessam a gestão de risco, por exemplo.