Smile de Volatilidade

<br /> Smile de Volatilidade – Superfície de Volatilidade<br />

A volatilidade instantânea, \(\sigma\), do ativo subjacente é a única variável no modelo B&S que não pode ser diretamente observada. De fato, a volatilidade (ou equivalentemente a variância) de um ativo é dita uma variável latente. Sabemos que ela existe e possui algum valor no processo gerador, o processo pelo qual os preços são formados, porém não conseguimos observá-la diretamente, apenas estimá-la. Uma das formas de estimação de volatilidade pode ser a partir de dados históricos, mas várias outras formas existem, entre elas processos GARCH, volatilidade realizada, volatilidade estocástica, etc.

Uma vez que a volatilidade não pode ser diretamente observada, a prática comum no mercado é fazer o caminho inverso. Considerar os preços de mercado para as opções como dado, e a partir do modelo B&S inverter a equação de preço da Call ou Put para encontrar a volatilidade deste modelo que é compatível com os preços de mercado. A esta volatilidade encontrada damos o nome de volatilidade implícita.

Portanto, o smile de volatilidade que tratamos neste post é na verdade um gráfico entre a volatilidade implícita, retirada de opções Européias (baunilhas, do inglês vanilla options) a partir do modelo B&S, contra os strikes destas opções.

Reparametrizando B&S e definição de moneyness

Nem sempre é interessante plotar o smile contra os strikes propriamente ditos, uma forma de avaliar o quanto uma opção está “dentro, fora ou no dinheiro” pode ser a grega Delta ou então o chamado moneyness (por favor, se alguém tiver uma boa tradução para este termo, deixe nos comentários). Tradicionalmente a medida de moneyness é a relação \(K/S\), ou seja o strike contra o preço corrente do subjacente. Porém existem outras definições mais interessantes para se trabalhar, entretanto, antes devemos fazer uso de algumas definições e vamos reparametrizar as expressões \(d1\) e \(d2\) do modelo B&S.

Lembrando que em precificação de opções estamos no mundo neutro ao risco, vamos definir o valor forward, \(F\) do subjacente como o valor corrente composto pela taxa livre de risco até a maturidade da opção, ou seja:

\[F=e^{r\tau}S\]

A volatilidade (implícita) total pode ser definida como a volatiliade reescalada pela raiz do tempo, que nos dá uma informação da volatiliade esperada para o subjacente do período corrente até a maturidade. Da mesma forma, a variância total. Denotanto a volatilidade total por \(\theta\) e a variância total por \(w\), temos:

\[\theta=\sigma_{imp}\cdot \sqrt{\tau}\]

e

\[w=\sigma_{imp}^2\cdot\tau\]

Vamos também definir a medida forward log-moneyness e denotá-la por \(k\). Esta será a medida de moneyness que iremos utilizar ao longo deste e de outros artigos, portanto iremos utilizar este termo para designar o forward log-moneyness a não ser que expresso de forma contrária no texto.

\[k=\ln\left(\frac{K}{S}\right)-r\tau=\ln\left(\frac{K}{F}\right)\]

Logo, o strike está relacionado ao moneyness de forma que: \(K=Fe^k\).

Podemos agora reparametrizar as expressões \(d1\) e \(d2\) do modelo B&S de forma que serão mais facilmente trabalhadas em modelos de volatilidade. Lembrando destas expressões que já foram apresentadas em artigo anterior:

\[\begin{aligned} &d_{1}={\frac {\ln(S/K)+(r+\sigma ^{2}/2)(\tau)}{\sigma {\sqrt {\tau}}}}\\ &d_{2}={\frac {\ln(S/K)+(r-\sigma ^{2}/2)(\tau)}{\sigma {\sqrt {\tau}}}}=d_1-\sigma\sqrt{\tau} \end{aligned}\]

Substituindo as expressões para forward log-moneyness e volatilidade total nas definições acima temos as novas parametrizações para \(d1\) e \(d2\):

\[\begin{aligned} &d_{1}={-\frac{k}{\theta}+\frac{\theta}{2}}\\ &d_{2}={-\frac{k}{\theta}-\frac{\theta}{2}}=d_1-\theta \end{aligned}\]

Retomando o valor da opção do tipo Call no modelo B&S, podemos reescrever sua fórmula de apreçamento da seguinte forma:

\[\begin{aligned} C(K, \tau)=&SN(d1)-Ke^{-r\tau}N(d2)\\ e^{r\tau}C(K, \tau)=&FN(d1)-KN(d2)\\ =&F\left[N(d1)-e^kN(d2)\right] \end{aligned}\]

Esta equação é conhecida como a forma de Black de precificação (Black Call price formula), que relaciona os valores forward da opção (também conhecido como valor não descontado), do subjacente e do strike. Esta formulação é particularmente útil quando formos extrair a distribuição neutra ao risco do subjacente que está implícita nos preços de mercado das opções.

Características de smiles de volatilidade

Caso o modelo de Black, Schole e Merton estivesse em acordo com a realidade, e os ativos tivessem seus preços formados a partir de um verdadeiro MBG, a volatilidade implícita seria uma constante. O gráfico do smile de volatilidade seria uma reta horizontal, com a mesma volatilidade para qualquer nível de moneyness e se considerarmos a superfície toda (que leva em conta os diversos tempos para expiração) esta seria paralela ao domínio \((k, \tau)\). Não estaríamos escrevendo (e você lendo) este artigo se este fosse o caso…

O fato é que o modelo B&S é um modelo muito restritivo, com inúmeras suposições que não se verificam no mundo real e que por conseguinte, tornam os resultados do modelo pouco acurados. Entretanto este é um modelo muito conhecido, de fácil assimilação por parte dos agentes de mercado e que virou a língua franca nos mercados de derivativos. Se todos os traders conversarem em termos do modelo B&S, todos se entenderão, mesmo que internamente cada um possua seu próprio modelo de apreçamento.

Entre as características tipicamente observadas em smiles (e superfícies) de volatilidades pode-se citar:

  • As volatilidades implícitas variam conforme o strike e prazo de expiração
  • Smiles apresentam skew. Maior inclinação em uma das asas, representando uma maior probabilidade daqueles strikes acontecerem
  • Smiles de equity tipicamente são negativos
  • Mercados diferentes apresentam padrões de smile diferentes

Mercados cambiais

Opções sobre moedas possuem tipicamente um smile de volatilidade conforme mostrado na figura 1 abaixo. A volatilidade implícita é relativamente baixa para opções ATM. Esta torna-se progressivamente maior quando a opção se move para dentro do dinheiro ou para fora.

Smile de volatilidade típico de um mercado cambial.

Figura 1: Smile de volatilidade típico de um mercado cambial.

Caso a distribuição dos preços do ativo subjacente, neste caso uma taxa de câmbio fosse perfeitamente log-normal como no modelo B&S, o smile não teria esta curvatura. Desta forma podemos afirmar que o mercado, ao precificar as opções, acredita que a distribuição deste ativo possui caudas com maior densidade que supõe a log-normal, existem maiores probabilidades de retornos muito baixos ou muito altos.

Mercados de equities

Nos mercados de equities, ações, índices de ações e ETFs, por exemplo, o smile apresenta uma característica de assimetria (skew, em inglês) negativa. A asa esquerda (parte onde as puts estão fora do dinheiro) apresenta valores de volatilidade implícita muito maiores que suas contrapartes no lado das calls. Este comportamento reflete a percepção de mercado de uma maior probabilidade de grandes perdas nas ações que altos ganhos, gerando portanto, uma distribuição de preços assimétrica. Como existe uma maior probabilidade de perdas extremas, o seguro para estas, ou seja, uma put é relativamente mais cara que uma call.

Smile de volatilidade típico de uma ação ou índice de ações.

Figura 2: Smile de volatilidade típico de uma ação ou índice de ações.

Smile como forma de precificação

Analisando a equação de B&S com a parametrização para \(d1\) e \(d2\) dada no início deste artigo é possível verificar que existe uma relação direta entre volatilidade implícita e preço de uma opção, seja esta uma call ou put.

Como \(d1\) é estritamente crescente em \(\theta\) e \(d2\) é estritamente decrescente e ao mesmo tempo o preço de uma opção é crescente em d1 e decrescente em d2, logo, temos uma relação direta entre o preço de uma opção e sua volatilidade implícita para uma dada maturidade. Em outras palavras, em um smile, tudo o mais constante, quanto maior a volatilidade implícita maior o preço da opção naquele strike.

Outra forma de verificar esta relação é perceber que a grega Vega, que é calculada da mesma forma para calls e puts, é sempre positiva. Ou seja, um aumento no valor da volatiliade sempre leva a elevações no preço de uma opção.

Desta forma é normal entre os praticantes de mercado fazer a precificação de opções em termos de “pontos de volatilidade” e não em valores monetários propriamente ditos. Isto porque o modelo B&S, apesar de não ser o modelo correto (nenhum é) para a precificação de opções, é conhecido e de fácil entendimento para todos. Então todos os praticantes podem fazer suas cotações em termos de volatilidades implícitas, que são extraídas de opções baunilhas com o modelo B&S, e somente na hora de fechar um negócio e liquidar o pagamento, o preço efetivo a ser pago é acordado entre as partes.

Conclusão

O modelo de Black-Scholes-Merton, pode ser considerado a pedra fundamental para a precifição de opções. Entretanto, este modelo apresenta uma séries de limitações que fazem com que os praticantes de mercado utilizem outras técnicas neste mercado. Uma destas é o uso do smile de volatilidade e sua interpretação como forma de precificar opções e extrair informações implícitas nos preços.

A assimetria do smile e suas asas informam que as distribuições de probabilidades para o ativo subjacente não são exatamente log-normais, e podem apresentar discrepâncias significativas, especialmente nas caudas da distribuição que muito interessam a gestão de risco, por exemplo.

Posted by Rafael F. Bressan

Aluno do curso de graduação em Ciências Econômicas da UDESC/Esag. Membro do Clube de Finanças Esag e gerente do núcleo de pesquisa em riscos e derivativos.

3 comments

Muito bom o art. Mas uma coisa que eu não entendi ainda é como é calculada a V.I de uma ação. Podemos calcular o V.I para cada opção mas e o V.I das ações para no final encontrarmos o IV rank?

Rafael F. Bressan

Apenas opções possuem volatilidade implícita, que é a volatilidade que se insere no modelo B&S para que o preço calculado seja igual ao preço de mercado.

Uma ação terá apenas volatilidade realizada, que pode ser estimada de diversas formas como por exemplo, vol. histórica, garch, etc.

Você pode usar a fórmula de Bruno Dupire.
A partir das volatilidades implícitas das opções e mais alguns parâmetros retirados do mercado, se pode estimar a volatilidade local do ativo.

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