História do VaR
O termo “Valor em Risco” derivado do inglês Value at Risk (VaR), foi introduzido no vocabulário financeiro apenas no começo dos anos 1990, apesar de suas medidas terem sido originadas muito antes.
Seu início mais provável retrocede à Bolsa de Valores de Nova York (NYSE), por volta de 1922, na qual, inicialmente, uma regra exigia que as firmas mantivessem um capital de 10% de seus ativos composto por posições de capital próprio e contas a receber de clientes. Em 1975, a Comissão de Títulos e Câmbio dos Estados unidos (SEC) estabeleceu novas regras para o capital das firmas, cujo objetivo era proteção contra perdas que poderiam ocorrer durante o período existente na liquidação de posições. Esse sistema dividiu ativos financeiros em várias categorias e subcategorias, para evitar posições muito concentradas em um único ativo.
A volatilidade nos juros americanos levou a SEC a atualizar as regras em 1980, as quais passaram a ser baseadas em análise estatística de dados históricos do mercado. Sua intenção era refletir o .95-quantil da quantidade de dinheiro que uma firma poderia perder em um período de liquidação de um mês. Apesar de não ter sido nomeado na época, essa era uma medida de valor em risco.
Em meados de 1990, muitas firmas careciam de maneiras de gerenciar o risco, foi quando a J.P Morgan desenvolveu um sistema de valor em risco em toda a empresa, modelando inúmeros fatores-chave. Uma matriz de covariância era atualizada trimestralmente com dados históricos e todos os dias as unidades de negociação reportavam a variação de suas posições de acordo com cada fator-chave. Esses dados eram agregados e expressavam o valor do portfólio como um polinômio linear dos fatores de risco, utilizando várias métricas de VaR para analisá-lo.
De 1990 em diante, a pedido do CEO da J.P. Morgan, um dado único de valor em risco deveria ser colocado nos demonstrativos de resultado em um relatório diário para as reuniões de tesouraria às 16:15, representando o risco que seria enfrentado no dia seguinte.
A partir de 1994, a metodologia desenvolvida na J.P Morgan, denominada RiskMetrics foi distribuída sem custo na internet, aumentando o interesse das firmas e investidores no gerenciamento de risco e possibilitando o aprimoramento das métricas de valor em risco.
Como podemos definir o Valor em Risco?
Em sua definição formal, o VaR de um portfólio é uma função com dois parâmetros: o horizonte de tempo (T) e o nível de confiança (X). Ele representa o nível de perda que temos X% de confiança que não vai ser excedido em um período T, podendo ser calculado tanto pela distribuição de probabilidades dos ganhos quanto pela distribuição de probabilidades das perdas.
Como exemplo, ao utilizar T representando três dias e X=90, o Valor em Risco é a perda no décimo percentil da distribuição de ganhos esperados dos próximos três dias. Da mesma forma, é a perda no nonagésimo percentil da distribuição de perdas dos próximos três dias. Genericamente, quando utilizada a distribuição de ganhos, o VaR é igual ao negativo dos ganhos no (100-X)-ésimo percentil da distribuição, como demonstrado na ilustração:
Figura 1: Distribuição de ganhos
Analogamente, quando utilizada a distribuição de perdas, o VaR é igual às perdas no X-ésimo percentil da distribuição:
Figura 2: Distribuição de perdas
Técnicas de estimação do VaR
Definimos o VaR de uma carteira sobre o horizonte T, com nível de confiança X, \(0< X <1\), por meio de:
\[ X=P(\Delta P(T)\leq VaR)=F^{T}(VaR), \]
na qual \(\Delta P(T)\), representa o ganho da posição sobre o horizonte T, e \(F^{T}(\cdot)\) a função de distribuição de ganhos acumulada de \(\Delta P(T)\).
Neste caso, podemos fazer algumas considerações: utilizando a distribuição de ganhos, o (100-X)-quantil de uma posição comprada será tipicamente um número negativo, tendo em vista que há perda no caso de uma queda no preço do ativo, ou seja, \(\Delta P(T)<0\), portanto o VaR é definido como o negativo desse quantil, e será sempre um valor positivo. Este método utiliza a cauda esquerda da distribuição de ganhos para níveis de confiança maiores que 50%.
VaR utilizando o Método Paramétrico
A estimação do VaR utilizando métodos paramétricos, abordada em Morettin (2008), pressupõe que os retornos de um portfólio seguem distribuições de probabilidades, uma dessas técnicas é conhecida como RiskMetrics, a qual supõe que a distribuição condicional dos retornos, dadas as informações passadas, é normal com média zero e variância \(\sigma _{t}^{2}\), ou seja, \[ \mathit{r}_{t}|\mathit{F}_{t-1}\sim \mathit{N}(0,\sigma_{t}^{2}). \] Neste caso, estimamos a volatilidade \(\sigma_{t}^{2}\) por meio do modelo EWMA (Média Móvel Exponencialmente Ponderada), o qual demonstra \[ \sigma^{2}_t=\lambda\sigma^{2}_{t-1}+(1-\lambda)r^{2}_{t-1}, \] onde \(0< \lambda<1\), e utilizando os log-retornos de \(k\) períodos, dados por \[ r_{t}[k]=r_{t+1}+r_{t+2}+…+r_{t+k}. \] A partir disso, \(\sigma_{t}^{2}[k]\), a volatilidade desse retorno, pode ser calculada por meio da modelagem GARCH, que mostra que \[ \sigma _{t}^{2}[k]=k\sigma _{t}^{2}(1). \]
Isto é, podemos escrever que \[ r_{t}[k]|\mathit{F}_{t-1}\sim \mathit{N}(0,k\sigma _{t}^{2}(1)). \] Portanto, sob os modelos adotados, a variância condicional dos log-retornos de \(k\) períodos é proporcional ao horizonte \(k\) e o desvio padrão condicional de \(r_{t}(k)\) é dado por \(\sqrt{k}\sigma_{t+1}\).
Por exemplo, utilizando uma posição comprada e um nível de confiança X=95, o RiskMetrics usa \(-1,65\sigma_{t+1}\) como VaR, representando o 0,05-quantil da distribuição normal com média zero e variância \(\sigma_{t}^{2}\), obtemos
\[ \mathit{-VaR=} \text{(Valor da Posição)}\times(-1,65)\times (\sigma _{t+1}), \]
representando a medida de um período. O VaR de \(k\) períodos é dado por: \[ \mathit{-VaR=} (Valor da Posição)\times(-1,65)\times\sqrt{k}\times (\sigma _{t+1}). \]
VaR utilizando o método de Variância e Covariância
Da mesma forma que a estimação anterior, o método de variância e covariância assume que a distribuição de retornos do portfólio pode ser aproximada por uma normal. Esse método pode ser definido por \[ VaR(a_{1},a_{2},…,a_{n},X)=-\mu +z_{X}\sigma, \] no qual, \(a_{n}\) representa a participação do ativo \(n\) na carteira, \(\mu\) representa a média dos retornos ponderada pela alocação de cada ativo, ou seja, o retorno esperado, e \(z_{X}\) representa o \(X\) quantil da distribuição normal conjunta, dado que são vários ativos. As quais podem ser calculadas por \[ \mu =\sum_{i=1}^{n}a_{i}m_{i} \] e \[ \sigma ^{2}=\sum_{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}a_{j}\sigma _{i,j}, \] nas quais, \(m_{i}\) representa o retorno esperado de cada ativo e \(\sigma_{i,j}\) representa a covariância entre os ativos “i” e “j”.
VaR utilizando o Método Não-Paramétrico ou Simulação Histórica
O método dos quantis empíricos, consiste em reunir dados históricos do portfólio, montando uma distribuição com os retornos através do tempo e, de acordo com a distribuição obtida, selecionar a perda a qual é maior apenas que os (100-X)% retornos históricos. Este é um método não-paramétrico, ou seja, não requer que a distribuição seja caracterizada por parâmetros, sendo útil em casos de dados resistentes à transformações e não normais, além disso, sua vantagem é a adequação às distribuições assimétricas.
VaR utilizando a Simulação de Monte Carlo
Simulações de Monte Carlo são tipicamente utilizadas em processos os quais não podem ser previstos facilmente devido à intervenção de variáveis aleatórias. Uma maneira de utilizá-lo é modelando possíveis movimentos nos preços de um ativo em softwares como o Excel.
Para realizar tal simulação deve-se primeiro estipular um modelo para a evolução dos preços dos ativos. Um dos modelos conhecidos é o Movimento Browniano Geométrico, no qual primeiro observa-se que existem dois componentes no movimento dos preços de um ativo: deriva \((\mu)\), que é um movimento direcional constante, e um componente aleatório \((\alpha)\), representando a volatilidade do ativo. Além disso, obtemos a deriva e o desvio padrão baseando-se em seu histórico, por meio de um processo chamado de calibração do modelo.
Para tanto, projeta-se a trajetória de um ativo, utilizando os dados históricos de seu preço para gerar uma série de retornos diários, usando o logaritmo natural: \[ \text{Retorno Diário}=ln(\frac{\text{Preço do dia}}{ \text {Preço do dia anterior}}). \] Em seguida, calculamos a média de retornos diários \((\bar{r})\), a variância \((\sigma^{2})\), o desvio padrão \((\sigma)\) e obtemos a deriva e a componente aleatória por meio de: \[ \mu=\bar{r}-\frac{\sigma^{2}}{2} \] e \[ \alpha=\sigma\times(\text{Valor aleatório}). \] Sendo \((\text{Valor aleatório})\sim N^{-1}(0,1)\), podemos obter o preço do dia seguinte por meio de: \[ \text{Preço do Dia Seguinte}=(\text{Preço do dia})\times e^{(\mu+\alpha)} \] Ao repetir esse cálculo quantas vezes necessário (cada repetição representando um dia), obtemos uma simulação do movimento futuro do preço. Ao gerar um número grande de simulações, pode-se encontrar a probabilidade associada ao preço que o ativo pode atingir em determinado horizonte de tempo.
A frequência dos diferentes retornos gerados por essa simulação formarão uma distribuição normal, assim como o primeiro método apresentado.
Deficiências do VaR
Em sua essência o VaR consegue responder a uma única pergunta “o quanto as perdas podem ser ruins?”. Porém, apesar do VaR proporcionar ao investidor o potencial de perda de um portfólio, ele acaba tendo muitas críticas por conta de suas deficiências.
Inicialmente, pode-se observar que o VaR é inconclusivo para perdas maiores que as especificadas pelo determinado nível de confiança, ou seja, não possuímos informações suficientes para analisar um caso extremo que supere a probabilidade estipulada. Isso é dado pelo fato dessa métrica não utilizar uma relação entre as maiores perdas, e sim escolher o valor da perda no (100-X)-quantil. Tal problema é observado no caso abaixo:
Figura 3: Distribuição de retornos assimétrica
Assim como inúmeras métricas utilizadas nas finanças, o VaR depende das componentes utilizadas na estimação, estando exposto a deficiências nesse processo, por exemplo, no caso de um ativo cuja distribuição de retornos seja assimétrica ou com maior achatamento, ao utilizar o método da variância e covariância, assume-se que a distribuição de retornos segue a normal, ocasionando em uma análise errônea. Além disso, a existência de diferentes métodos para se calcular o VaR de um portfólio faz com que para cada cálculo haja um resultado diferente para o risco.
Por fim, analisando as quatro propriedades de medidas coerentes de risco, observadas em Hull (2012):
Monotonicidade: se um portfólio produz um resultado pior que outro portfólio por qualquer razão, sua medida de risco deve ser maior;
Invariância por translação: se uma quantidade K de capital é adicionada a um portfólio, sua medida de risco deve cair K;
Homogeneidade: mudar o tamanho do portfólio por um fator \(\lambda\) enquanto mantêm-se as quantidades relativas dos ativos, a medida de risco deve ser multiplicada por \(\lambda\);
Subaditividade: a medida de risco de dois portfólios quando é feita sua fusão não deve ser maior que a soma de suas medidas de risco antes da fusão.
Observa-se que, apesar de sempre satisfazer as três primeiras propriedades, há casos nos quais o VaR não satisfaz a quarta, tornando-o uma medida não coerente de risco.
Vantagens
Em meio a essa série de desvantagens o VaR se sustenta como uma das principais ferramentas na análise de riscos. Isso pode ser explicado dado sua capacidade de admitir a comparação de valores, que são expressos em unidade monetárias. Assim sendo, permite a comparação entre ativos de diferentes áreas do mercado. Além disso, sua larga utilização permite a comparação de riscos entre vários âmbitos tais como comparação de portfólios e entre diferentes setores.
Vantagens e Desvantagens de cada método
Método Paramétrico:
Por ser um método simples, requer pouca força computacional, mas sua simplicidade custa na confiabilidade da estimativa, que é limitada pelo uso da distribuição normal, não funciona bem para ativos que tenham retornos não lineares e pode subestimar o VaR em altos níveis de confiança e o sobrestimá-lo em baixos níveis.
Método Não-Paramétrico:
O método de simulação histórica é fácil de ser implementado. Os dados referentes ao cálculo geralmente apresentam-se em domínio público e não são necessários softwares complexos para se realizar o cálculo, de maneira que planilhas de cálculo simples são eficientes. A simulação histórica também não leva em conta suposições em relação a distribuição dos retornos e elimina a necessidade de se utilizar a matriz de covariância e outros parâmetros. Apesar disso, o método supõe que a distribuição de retornos do ativo se manterá a mesma, o que pode não ser razoável, e requer bases de dados sobre o preço do ativo, as quais nem sempre apresentam o tamanho suficiente.
Método de Monte Carlo:
O método de Monte Carlo é capaz de calcular de maneira eficiente o VaR devido ao uso de simulações não-lineares e de parâmetros, à possibilidade de adequá-la a diferentes distribuições estatísticas e ao fato de não ser tão afetada por eventos extremos. Apesar disso, é o mais complicado dentre os métodos apresentados, custando mais tempo para ser desenvolvido e necessitando grande capacidade de processamento de dados.
Referências
Hull, John. 2012. Risk Management and Financial Institutions,+ Web Site. Vol. 733. John Wiley & Sons.
Morettin, Pedro Alberto. 2008. “Econometria Financeira: Um Curso Em Séries Temporais Financeiras.”
