Reparametrizações equivalentes

Existem duas outras formas de se apresentar um modelo SVI que são equivalentes a parametrização RAW já apresentada. Estas são as parametrizações “Natural” e “Jump-Wings” que são apresentadas abaixo.

Para um dado conjunto de parâmetros \(\chi_N=\{\Delta, \mu, \rho, \omega, \zeta\}\) a parametrização natural de um SVI é dada por:

\[\begin{equation} w(k; \chi_N)=\Delta+\frac{\omega}{2}\left\lbrace 1+\zeta\rho(k-\mu)+\sqrt{(\zeta(k-\mu)+\rho)^2+(1-\rho^2)} \right\rbrace \tag{1} \end{equation}\]

onde \(\omega\geq 0\), \(\Delta, \mu \in \mathbb R\), \(|\rho|<1\) e \(\zeta>0\). A correspondência entre as parametrizações raw e natural é dada pelo seguinte mapeamento e seu inverso:

\[\begin{equation} (a, b, \rho, m, \sigma)=\left(\Delta+\frac{\omega}{2}(1-\rho^2), \frac{\omega\zeta}{2}, \rho, \mu-\frac{\rho}{\zeta}, \frac{\sqrt{1-\rho^2}}{\zeta}\right) \tag{2} \end{equation}\] \[\begin{equation} (\Delta, \mu, \rho, \omega, \zeta)=\left(a-\frac{\omega}{2}(1-\rho^2), m+\frac{\rho\sigma}{\sqrt{1-\rho^2}}, \rho, \frac{2b\sigma}{\sqrt{1-\rho^2}}, \frac{\sqrt{1-\rho^2}}{\sigma}\right) \tag{3} \end{equation}\]

A desvantagem destas parametrizações é que o valor de seus parâmetros não são intuitivos para os traders, eles não carregam estes valores em sua memória durante a negociação. Valores característicos de uma superfície de volatilidade implícita que traders têm em mente são, por exemplo, volatilidade ATM, skew de volatilidade ATM e assíntotas. Desta forma a parametrização Jump-Wings é útil, pois relaciona estes valores típicos aos parâmetros raw de um SVI.

A parametrização JW é dada em termos da variância implícita (e não da variância total) e portanto existe uma dependência explícita do tempo em sua formulação. Para um dado tempo até a expiração, \(\tau\), o conjunto de parâmetros \(\chi_{J}=\{v_\tau, \psi_\tau, p_\tau, c_\tau, \tilde v_\tau\}\) é definido pelas seguintes equações a partir dos parâmetros raw:

\[\begin{align} v_\tau&=\frac{a+b\{-\rho m + \sqrt{m^2+\sigma^2}\}}{\tau},\\ \psi_\tau&=\frac{1}{\sqrt{w_\tau}}\frac{b}{2}\left(-\frac{m}{\sqrt{m^2+\sigma^2}}+\rho\right),\\ p_\tau&=\frac{1}{\sqrt{w_\tau}}b(1-\rho),\\ c_\tau&=\frac{1}{\sqrt{w_\tau}}b(1+\rho),\\ \tilde v_\tau&=\frac{1}{\tau}\left(a+b\sigma\sqrt{1-\rho^2}\right) \tag{4} \end{align}\]

onde \(w_\tau=v_\tau \tau\) relaciona a variância total ATM com a variância ATM. Os parâmetros possuem as seguintes interpretações: \(v_\tau\) é a variância ATM, \(\psi_\tau\) o skew ATM, \(p_\tau\) a inclinação da asa esquerda (puts), \(c_\tau\) a inclinação da asa direita (calls) e \(\tilde v_\tau\) é a variância implícita mínima.

A figura 1 apresenta uma esquematização destes parâmetros sobre um smile fictício para melhor compreensão.

Figura 1: Interpretação dos parâmetros de um SVI-JW.

As relações inversas que trazem uma parametrização JW para uma raw, assumindo que \(m \neq 0\) são:

\[\begin{align} b&=\frac{\sqrt{w_\tau}}{2}(c_\tau+p_\tau),\\ \rho&=1-\frac{p_\tau\sqrt{w_\tau}}{b},\\ a&=\tilde v_\tau \tau-b\sigma\sqrt{1-\rho^2},\\ m&=\frac{(v_\tau-\tilde v_\tau)\tau}{b\left\lbrace-\rho+sign(\alpha)\sqrt{1+\alpha^2}-\alpha\sqrt{1-\rho^2}\right\rbrace},\\ \sigma&=\alpha m. \tag{5} \end{align}\]

onde as variáveis auxiliares são definidas da seguinte forma: \(\beta:=\rho-(2\psi_\tau\sqrt{w_\tau})/b\) e \(\alpha:=sign(\beta)\sqrt{1/\beta^2 – 1}\), com \(\beta \in [-1, 1]\) para garantir a convexidade do smile.

Se \(m=0\), então as equações para \(a, b, \rho\) se mantêm, porém, \(\sigma = (v_\tau \tau-a)/b\). Desta forma temos relações entre as três parametrizações SVI, sendo possível navegar entre elas com tranquilidade. Um trader pode verificar no mercado os valores dos parâmetros JW e traduzi-los para raw e simular o smile ou fazer o caminho reverso, calibrar uma fatia da superfície com parâmetros raw, traduzi-los para JW e apresentar para sua mesa, onde todos conseguirão interpretar os valores a que estão habituados.

Superfície SVI

Uma SSVI surge como uma extensão à parametrização natural de um SVI, e fornece em uma única equação, a possibilidade de parametrizar uma superfície de volatilidade implícita por inteiro. É necessário, antes de mais nada, fazer algumas definições preliminares. Defina a variância total implícita no dinheiro (ATM) como \(\theta_\tau:=\sigma_{BS}^2(0, \tau)\tau\) e \(\lim\limits_{\tau\rightarrow 0}\theta_\tau = 0\).

\[\begin{equation} w(k, \theta_\tau)=\frac{\theta_\tau}{2}\left\lbrace 1+\rho\varphi(\theta_\tau)k+\sqrt{(\varphi(\theta_\tau)k+\rho)^2+(1-\rho^2)} \right\rbrace \tag{6} \end{equation}\]

Veja que na representação SSVI, engenhosamente os autores substituíram a dimensão de tempo, \(\tau\), típica de superfícies de volatilidde, pela variância total ATM. Com esta representação, eles conseguiram derivar as condições necessárias para a ausência de arbitragem estática na superfície e sempre que necessário, é possível retornar a dimensão de tempo no calendário.

Agora é necessário definir a função \(\varphi\), que então será substituída na equação (6) da definição 1 com seus próprios parâmetros e teremos por fim uma função \(w(k, \theta_\tau; \chi_{ssvi})\) que poderá ser calibrada para o conjunto de parâmetros da SSVI, \(\chi_{ssvi}\) contra os dados observados no mercado. No fundo, qualquer função que obedeça as condições impostas na definição 1 pode ser utilizada, entretanto os autores apresentam dois tipos de função que condizem com as observações empíricas.

Condições de não-arbitragem

As condições para ausência de arbitragem estática para uma SSVI são colocadas através de dois teoremas (4.1 e 4.2) e provadas no artigo de (Gatheral and Jacquier 2014), dos quais resulta o seguinte corolário.

Onde os dois primeiros itens dizem respeito a ausência de arbitragem de calendário, enquanto que os seguintes são exigências para a superfície estar livre de arbitragem do tipo borboleta.

Para uma função \(\varphi\) do tipo Heston, as condições nos seus parâmetros são: \(\gamma>0\) que garante o atendimentos as condições 1 e 2 do corolário 1 e \(\gamma\geq(1+|\rho|)/4\) para garantir a ausência de arbitragem borboleta, a qual subsume a primeira condição.

Para a função do tipo lei de potência dada em (8) são necessárias as condições \(0< \gamma<1\) e \(\eta(1+|\rho|)\leq 2\)

A maneira típica de impor as restrições dos parâmetros no momento da calibração do modelo é inserir uma penalidade na função objetivo, quando a restrição é violada. Por exemplo, consideramos a restrição de inequalidade para a lei de potência, \(\eta(1+|\rho|)-2\leq 0\). No momento da calibração, nós devemos calcular o valor desta expressão e se o seu resultado for maior que zero, uma penalidade é somada a função objetivo da calibração (em geral a soma dos quadrados dos erros).

Densidade neutra ao risco

Já comentamos sobre a distribuição neutra ao risco implícita no preço de opções que pode ser obtida através da fórmula de (Breeden and Litzenberger 1978), assim como já foi introduzida uma certa função \(g(k)\) que desempenha um papel fundamental para garantir a ausência de arbitragem do tipo borboleta em smiles de variância total. O fato é que, para garantir a ausência de arbitragem a função \(g(k)\) deve ser não negativa em todo o seu suporte \(k \in \mathbb R\). Ao mesmo tempo, a definição de ausência de arbitragem borboleta se confunde com o fato que a densidade neutra ao risco deve também ser não negativa, caso contrário não seria uma densidade de probabilidade. Logo percebe-se a estreita relação entre a função \(g(k)\) e a densidade neutra ao risco implícita no preço de opções. De fato, a fórmula de Breeden-Litzenberger nos fornece:

\[\begin{equation} p(k)=\left.\frac{\partial^2C_B(k, w(k))}{\partial K^2}\right|_{K=Fe^k} \end{equation}\]

que após fazer as derivações da equação de Black e as substituições e manipulações algébricas com as reparametrizações do modelo B&S, resulta em:

\[\begin{equation} p(k)=\frac{g(k)}{\sqrt{2\pi w(k)}}\exp\left(-\frac{d_2(k)^2}{2}\right) \tag{9} \end{equation}\]

E para relembrarmos, a função \(g(k)\) é dada por:

\[\begin{equation} g(k)=\left(1-\frac{kw\prime(k)}{2w(k)}\right)^2-\frac{w\prime(k)^2}{4}\left(\frac{1}{w(k)}+\frac{1}{4}\right)+\frac{w\prime\prime(k)}{2} \tag{10} \end{equation}\]

Ou seja, uma vez parametrizado um SVI para um dado prazo de maturidade, \(\tau\), se torna simples a tarefa de extrair a densidade implícita. Possuímos a função \(w(k)\) e suas derivadas e certamente \(d_2(k)\), bastando portanto, aplicar a equação (9) para extrair importante informação do mercado de opções.

Superfície de volatilidade local

De maneira semelhante ao procedimento realizado com a densidade implícita, também é possível, uma vez parametrizada a SSVI, derivar a superfície de volatilidade local através da equação de (Dupire 1994). Esta equação toma a seguinte forma funcional:

\[\begin{equation} \sigma_L^2(K, \tau)=\frac{\partial_\tau C_B(K, \tau)}{\frac{1}{2}K^2\partial_{KK}C_B(K, \tau)} \tag{11} \end{equation}\]

Novamente tomando as derivadas da equação de Black e fazendo as substituições necessárias¹ chegamos a relação entre a superfície SVI e variância local.

\[\begin{equation} \sigma^2_L(k, \tau)=\frac{\partial_\tau w(k, \theta_\tau)}{g(k, w(k, \theta_\tau))} \tag{12} \end{equation}\]

De forma bastante simplista, a superfície de volatilidade local pode ser entendida como aquela superfície de volatilidades instantâneas para o ativo subjacente, \(\sigma(S, t)\) que depende tanto do nível de preço deste ativo quanto do tempo, e fornece a previsão do mercado para a volatilidade instantânea de \(S\) dado que este ativo hoje está precificado em \(S_0\) e no tempo futuro \(\tau\) estará em \(K\). Fazendo uma analogia com o mercado de juros, a superfície local está para a curva forward assim como a superfície implícita está para a curva de juros, numa aproximação.

A superfície local é muito utilizada para precificar opções exóticas, aquelas que possuem perfil de payoff distinto das opções europeias e podem ou não terem seus resultados atrelados ao caminho seguido pelo preço do ativo objeto durante a vida da opção. Nestes casos, a precificação se dá através da incorporação da superfície local estipulando um valor de volatilidade instantânea para cada possível combinação \((S_t, t)\) em geral em um ambiente de simulação de Monte Carlo.

No caso da equação (12) temos uma nova derivada a ser computada, \(\partial_\tau w(k, \theta_\tau)\), que só poderia ser feita de forma analítica caso \(\theta_\tau\) fosse parametrizada explicitamente. Nem sempre este é o caso, já que \(\theta_\tau\) são os valores de variância total ATM implícitas, ou seja, observa-se no mercado apenas alguns pontos de \(\theta_\tau\), pontos estes que podem estar espaçados em intervalos diferentes de tempo. A solução para esta derivação é interpolar estes pontos, nem que seja uma simples interpolação linear, e então fazer a derivação de forma numérica através de um método de diferenças finitas. Note que na interpolação deve-se garantir a condição de não arbitragem de calendário, \(\partial_\tau\theta_\tau\geq 0\).

Calibração

Vamos retomar nosso exemplo de superfície de volatilidade do artigo anterior, porém agora com todas as datas de expiração, ou seja, a superfície completa. Os códigos R apresentados abaixo ajudam na compreensão do procedimento.

library(readr)
library(dplyr)
library(purrr)
library(kableExtra)
library(ggplot2)
library(ggthemes)
library(plot3D)
source('svi.R')
source('ssvi.R')

Primeiramente foram carregados os pacotes necessários para a leitura e manipulação dos dados (readr, dplyr e purrr) assim como os pacotes de visualização (kableExtra, ggplot2, ggthemes e plot3D). Em seguida os arquivos svi.R e ssvi.R são implementações do Clube de Finanças para as funções necessárias para calibrar uma SSVI.

Carregados os pacotes e as funções, deve-se carregar os dados da superfície de volatilidade e organizá-los da forma que necessitamos.

ssvi_data <- read_csv("../../static/input/IV_Raw_Delta_surface.csv",
                     col_types = cols(date = col_date(format = "%m/%d/%Y"))) %>% 
  mutate(tau = period / 365,
         theta = theta_vec(moneyness, tau, iv)) %>% 
  rename(k = moneyness)

Para calibrar os parâmetros de uma SSVI, com a função \(\varphi\) do tipo lei de potência, necessitaremos dos dados de moneyness (\(k\)), vencimento (\(\tau\)) e volatilidade implícita (\(iv\)) que será internamente convertida em variância total implícita (\(w\)). Dentro da função de ajuste dos parâmetros fit_ssvi() a variância total ATM implícita \(\theta_\tau\) é calculada através de interpolação spline para cada uma das fatias da superfície, pois, nossos dados não necessariamente possuem esta observação. Cabe ressaltar também que os dados estão organizados de forma tidy, sendo portanto, todos os argumentos passados para as funções na forma de vetores, não sendo necessário gerar uma matriz contendo o grid \((k, \tau)\).

k <- ssvi_data$k
tau <- ssvi_data$tau
iv <- ssvi_data$iv
theta <- ssvi_data$theta

set.seed(12345)
powerlaw_par <- fit_ssvi(tau, k, iv, "powerlaw")
kable(powerlaw_par,
      caption = "Parâmetros da SSVI-power-law estimados.",
      col.names = "SSVI-PL")

Podemos rapidamente checar se estes parâmetros estimados geram uma superfície livre de arbitragem.

paste("Parametrização livre de arbitragem borboleta? :", 
      ssvi_butterfly_cons(powerlaw_par, "powerlaw") <= 0)

## [1] "Parametrização livre de arbitragem borboleta? : TRUE"

Com os parâmetros estimados, é simples plotar todos os smiles que compõe a superfície e verificar visualmente o ajuste. Vamos plotar a variância total em função do moneyness e vencimentos, pois neste gráfico se verifica a condição de arbitragem de calendário simplesmente através do fato que as curvas geradas não devem se cruzar.

plt_df <- ssvi_data %>% 
  mutate(w_pl = ssvi_fun(powerlaw_par, theta, k)) %>% 
  select(k, tau, w_pl, iv) %>% 
  filter(tau < 0.5)

ggplot(plt_df, aes(x = k, y = w_pl)) + 
  geom_line(aes(color = as.factor(format(tau, digits = 3)))) +
  geom_point(aes(y = iv^2 * tau)) +
  guides(color = guide_legend(title = "Vencimento")) +
  labs(title = "SSVI Lei de Potência",
       x = "Forward log-moneyness (k)",
       y = "Variância total implícita (w)",
       caption = "Elaborado por Rafael Bressan para o Clube de Finanças.") +
#  scale_y_continuous(labels = scales::percent) +
  scale_color_viridis_d() +
  theme_economist_white()

Foram retirados os vencimentos mais longos apenas para uma melhor visualização da parte mais curta da superfície, que em geral é a mais complicada de se calibrar através de SVI. O resultado parece interessante, com as variâncias ao redor do dinheiro tendo boa aderência aos dados observados, porém para puts muito fora do dinheiro, a parametrização aparenta subestimar o valor da variância total e portanto estaria subprecificando as opções.

Iremos agora verificar a densidade da distribuição implícita para o período de vencimento de 90 dias. Utiliza-se para tanto a equação (9) onde \(w(k)\) (e suas derivadas e o próprio \(d_2\)) será agora calculado com base nos parâmetros da tabela 1 para um vetor de moneyness mais amplo e denso. O resultado pode ser observado através da figura 2

thetadens <- ssvi_data %>% 
  filter(period == 90) %>% 
  pull(theta) %>% 
  `[`(1)
kdens <- seq(-0.5, 0.3, length.out = 100)
dens <- ssvi_density(powerlaw_par, thetadens, kdens, "powerlaw")
dens_tbl <- tibble(kdens = kdens, dens = dens)

ggplot(dens_tbl, aes(x = kdens, y = dens)) + 
  geom_line() +
  labs(title = "Densidade neutra ao risco SSVI",
     x = "Forward log-moneyness (k)",
     y = "Densidade",
     caption = "Elaborado por Rafael Bressan para o Clube de Finanças.") +
  scale_color_viridis_d() +
  theme_economist_white()

Figura 2: Densidade implícita estimada. Presença de assimetria e leptocurtose a esquerda.

Este é um gráfico interessante, que nos mostra exatamente o que se espera de um smile típico de equities que possui skew negativo. Percebemos como a densidade de probabilidades é assimétrica, com a cauda esquerda muito mais longa, refletindo o sentimento de mercado de uma maior probabilidade de grandes quedas no preço do ativo objeto que altas equivalentes. Sempre que verificamos um smile com skew negativo, como é o presente caso, a distribuição de probabilidades é assimétrica a esquerda.

Vamos conferir se a área sob esta curva de densidade integra aproximadamente 1, como deve ser.

area <- integrate(function(x) ssvi_density(powerlaw_par, thetadens, x, "powerlaw"),
                  lower = kdens[1],
                  upper = kdens[length(kdens)])
paste("Área sob a curva de densidade é: ", area$value)

[1] “Área sob a curva de densidade é: 0.999302879362191”

Chegou o momento de inferirmos a superfície de volatilidade local a partir de nossa parametrização SSVI. O método será a aplicação direta da equação (12) pois, com a parametrização realizada, dispomos de todos os dados necessários para seu cômputo.

Antes porém, devemos observar uma peculiaridade dos nossos dados. O site ivolatility.com fornece dados alinhados por Delta, ou seja, para cada período de vencimento temos um mesmo conjunto de Deltas, mas não de moneyness. Os valores deste último irá variar conforme o vencimento, uma vez que pela definição de forward log-moneyness que vimos utilizando é dependente do tempo para maturidade da opção. Desta forma precisamos gerar um novo grid \((k, \tau)\) para plotar nossa superfície de volatilidade local.

Para tanto, criaremos uma sequência uniforme de valores de \(k\) e tomaremos os valores que já possuímos de \(\tau\) e \(\theta_\tau\) recombinando-os através da função expand.grid() para gerar o data frame que precisamos.

Feito isso, é apenas questão de aplicar a equação (12) e criar uma matriz (pois assim pede a função surf3D()) com os valores da volatilidade local.

kloc <- seq(-.4, 0.4, length.out = 17)
utau <- unique(tau)
utheta <- unique(theta)
names(utheta) <- utau  # utheta will be a lookup vector
grid_df <- expand.grid(kloc, utau) %>% 
  rename(kloc = Var1,
         tau = Var2) %>% 
  mutate(theta = utheta[as.character(tau)])

loc_vol_vec <- ssvi_local_vol(powerlaw_par, 
                              grid_df$tau, 
                              grid_df$theta, 
                              grid_df$kloc, 
                              "powerlaw")
# Matrix where k is row
loc_vol_m <- matrix(loc_vol_vec, nrow = length(kloc))  

# Plot Local Volatility Surface
# x is k, y is tau
M <- mesh(kloc, utau)
surf3D(M$x, M$y, loc_vol_m, colkey = FALSE, bty = "b2", 
       phi = 20, ticktype = "detailed",
       xlab = "k",
       ylab = "\u03c4",
       zlab = "Volatilidade local \u03c3")

Conclusão

Apresentamos o modelo de superfícies SVI, que faz uma generalização dos smiles SVI e apresenta vantagens sobre a parametrização fatia-a-fatia em virtude dos teoremas sobre arbitragem estática, apresentando restrições para os parâmetros do modelo que garantem a ausência deste tipo de arbitragem.

Uma vez parametrizada toda uma SSVI, torna-se simples, uma mera aplicação de fórmulas a obtenção tanto da densidade da distribuição neutra ao risco implícita no preços das opções, como da superfície de volatilidade local através da equação de Dupire.