Risco de mercado, princípios de Basileia e a teoria do valor extremo

Introdução

A medição do risco de mercado ao qual os portfólios dos investidores está sujeito é objeto de devoção de esforços tanto por parte das instituições e investidores em geral como por parte dos reguladores. Instituições financeiras – IF em todo o mundo, de acordo com suas regulações locais e com os princípios de Basileia ( Basel Comittee on Banking Supervision – BCBS do Banco de Compensações Internacionais – BIS) são obrigadas a reservar uma parcela de seu capital como provisionamento contra flutuações adversas do mercado, como forma de mitigar seu risco de insolvência.

Estas instituições devem manter seu risco de insolvência controlado, e a percepção externa deve ser tal que não haja desconfiança do público com sua habilidade em controlar este risco. Se a confiança na instituição se esvai e a percepção de risco é elevada, rapidamente uma crise de liquidez pode surgir, com depositantes sacando seus recursos ao mesmo tempo em que outras fontes de funding também se tornam escassas. Em tal situação, é natural o banco ou IF, ir ao mercado para vender seus ativos e levantar os recursos necessários. Neste momento uma crise de liquidez no mercado pode levar a uma possível insolvência da IF pois, não há garantias que no mercado aberto, os ativos do banco serão justamente avaliados e arrematados.

Uma importante característica das séries de retornos financeiros é sua alta volatilidade, não constante e tampouco seguindo uma distribuição Normal. Assim, eventos extremos, e neste caso estamos interessados em perdas de grande magnitude, acontecem com uma frequência alta demais para serem descartadas como apenas outliers, e portanto passaram a atrair a atenção dos participantes do mercado, entre eles os investidores e reguladores. Estas observações induziram uma gama de estudos, empíricos e teóricos, voltados a explicar o comportamento dos retornos de séries financeiras e modelar de forma adequada as caudas da distribuição destes retornos. Não somente estes estudos são de grande relevância para o gerenciamento de risco nas instituições financeiras, como também são obrigatórios segundo o acordo de Basileia, uma vez que este requer o cálculo do Valor em Risco – VaR, para então a instituição poder projetar o seu nível requerido de capital.

De acordo com os princípios de Basileia III, BCBS (2011), BCBS (2013a), BCBS (2014), as instituições financeiras supervisionadas pelos Bancos Centrais devem manter buffers de capital contra riscos de mercado, crédito, liquidez, entre outros. Dentro dos riscos de mercado, as duas formas mais usuais de fazer a quantificação destes são os métodos de Valor em Risco – VaR e o Expected Shortfall – ES. Este último relacionado ao primeiro, sendo definido como o valor esperado das perdas que excedem o VaR calculado para um determinado nível de confiança.

VaR é um quantil alto \(\alpha\) da distribuição de perdas de um ativo ou portfólio em um determinado período de tempo, ao passo que ES é o valor esperado das perdas que excedem VaR, para um mesmo período e nível de confiança \(\alpha\).

O método VaR para cálculo de risco de mercado ao qual um portfólio está sujeito foi primeiramente introduzido através de RiskMetrics (1995), uma metodologia adotada pelo banco J. P. Morgan. Vem desde então sendo amplamente adotado pela indústria financeira e largamente estudado pela academia. Inúmeras variantes do modelo foram propostas e continuam sendo utilizadas com o passar dos anos. Para o cálculo do VaR é necessária uma suposição acerca da distribuição dos retornos, e por conseguinte do comportamento da cauda desta.

As variações na metodologia original de estimação do VaR surgem principalmente em função de críticas a abordagem proposta, a qual inclui a suposição de retornos independentes e igualmente distribuídos, covariâncias constantes entre os ativos de um portfólio e a distribuição normal dos retornos.

Por meio de dois artigos Artzner et al. (1997) e Artzner et al. (1999), foi introduzido na literatura o conceito de medida coerente de risco. Para uma medida ser considerada coerente, primeiramente foram introduzidas quatro propriedades cunhadas através de axiomas, as quais estas medidas deveriam possuir, invariância translacional, sub-aditividade, homogeneidade positiva, e monotonicidade.

VaR especificamente não possui a propriedade da sub-aditividade para alguns casos, sendo esta uma das grandes críticas ao VaR. Desta forma, em casos específicos, é possível uma carteira diversificada em que sejam computados o VaR de cada um de seus ativos, ser agregada e possuir um VaR do portfólio maior que o maior VaR de seus componentes, algo que não condiz com uma medida coerente de risco. Para contornar este fato, Acerbi and Tasche (2002) propuseram o Expected Shortfall e comprovam que este é uma medida coerente de risco. Além de ser coerente, o ES possui uma segunda vantagem com relação ao VaR, considerando que o ES nos informa uma medida de tendência central do tamanho das perdas que excedem o valor do quantil VaR. Ou seja, o VaR nos informa apenas que uma proporção \(\alpha\) das perdas serão menores que a medida, mas nada nos informa se esta perda extraordinária de fato ocorrer. Mesmo sendo criticado como uma medida não coerente de risco, o VaR continua a ser amplamente utilizado, mesmo que agora em conjunto com o ES.

Mais recentemente o Comitê de Supervisão Bancária de Basileia tem se proposto a adotar o Expected Shortfall como medida de risco de mercado. BCBS (2013b). O Comitê cita a grande importância da escolha da medida de risco e sua calibração, e portanto estas são relevantes para as decisões de política do Banco. Entre as dificuldades encontradas pelo VaR estão mais notadamente sua inabilidade em estimar o “risco de cauda” da distribuição de perdas, uma vez que VaR não leva em conta a distribuição das perdas acima do valor de corte.

Desta forma, foi decidido que o ES seria a medida de risco favorita para a abordagem pelo banco chamada de modelos internos. Ou seja, os bancos supervisionados devem utilizar o ES para o cálculo do risco de mercado a que estão sujeitos em seus modelos internos. O comitê também se decidiu por um nível de confiança de 97,5% para o ES, em contraposição a 99% para o VaR. O comitê espera que esta abordagem para o cálculo da medida de risco de mercado trará benefícios se comparada a antiga abordagem pelo Var, entre elas um modelo com resultados mais estáveis e menor sensibilidade a observações extremas (outliers).

Revisão de Literatura

Teoria do valor extremo, é um ramo da estatística que lida diretamente com eventos raros, extremos. Seu objetivo é modelar o comportamento assintótico de eventos que se distanciam muito da mediana de uma distribuição. Justamente por esta característica, a EVT está sendo utilizada para modelar riscos que possuem distribuição com caudas longas, um dos fatos estilizados bem conhecidos sobre retornos de ativos financeiros.

Ao utilizar a EVT, e mais especificamente o método conhecido como peaks over treshold – POT, se está interessado em modelar apenas a parte da cauda da distribuição das perdas de um ativo financeiro maiores que um determinado valor de limiar u. É da modelagem desta cauda, portanto, que se calcula a estimativa de VaR.

A teoria do valor extremo vem sendo utilizada nas finanças a algum tempo. Devido as características das séries financeiras, por exemplo a leptocurtose, a distribuição normal para os retornos vem sendo rechaçada, enquanto outras distribuições mais adequadas assumem o posto para descrever o comportamento das perdas e retornos de séries financeiras. A EVT, ao modelar distribuições com caudas longas, pode ser utilizada para esta finalidade. A introdução da EVT em dois estágios para a estimação de medidas condicionais de risco pode ser atribuída a McNeil and Frey (2000). Neste artigo os autores propuseram um modelo para a estimação do VaR e ES de forma condicional, tanto para período de um dia como para dez dias a frente, de acordo com o normativo de Basileia vigente a época. Seu modelo, que leva em conta as longas caudas e a natureza estocástica da volatilidade, se ajustam de forma mais fidedigna aos dados. Daníelsson and Morimoto (2000) fizeram uma crítica aos modelos condicionais de cálculo do VaR para o mercado japonês e chegaram a conclusão que um modelo EVT incondicional, inclusive sem o estágio de filtragem inicial, era mais adequado para fins práticos.

Byström (2004) encontrou que ambas abordagens da EVT, máximos em bloco como POT, combinadas com análise de séries temporais tradicional (ARIMA e GARCH), no que se configura uma abordagem condicional para a estimação do VaR, têm os melhores resultados tanto em períodos ditos tranquilos como em épocas de alta volatilidade. Voltando a aplicação da EVT para mercados emergentes, Gencay and Selcuk (2004) utilizaram a teoria de valor extremo para o cálculo de VaR e teste de estresse. Seus resultados apontam que a EVT se torna melhor a medida que o quantil utilizado para o cálculo se eleva. Além disso, encontraram que as caudas da distribuição de retornos se comportam de maneira diferente entre ganhos e perdas. Uma comparação entre diversos modelos de previsão de VaR foi realizada por Kuester, Mittnik, and Paolella (2006). Encontraram que a grande maioria dos modelos subestima o risco, mesmo sendo aceitáveis do ponto de vista regulatório, sendo que o modelo condicional GARCH-EVT está entre as melhores estimações.

Karmakar and Shukla (2014) retomam o modelo em dois estágios e fizeram uma comparação entre o modelo EVT condicional e outros modelos já consagrados no cálculo de VaR em 3 mercados desenvolvidos (EUA, Reino Unido e Japão) e 3 mercados emergentes asiáticos (Índia, Hong Kong e Corea do Sul). O modelo GARCH adotado no primeiro estágio é diferente para cada mercado, porém com uma particularidade comum, todos são modelos assimétricos. Novamente encontram que o modelo EVT condicional é superior aos demais através de testes de cobertura incondicional e condicional.

Chavez-Demoulin, Davison, and McNeil (2005) e Herrera and Schipp (2013) tomam um caminho diferente para modelar a EVT. Enquanto o primeiro adota o método de processos pontuais de auto-excitação¹, que dadas algumas condições, converge para o método POT, o segundo modela explicitamente as durações de tempo entre as observações de extremos, ou seja, as perdas em excesso ao limiar escolhido. A magnitude destas perdas continua a ser modelada através da distribuição generalizada de Pareto – GPD. Seu modelo é então chamado de autoregressive conditional duration peaks over threshold model – ACD-POT.

Rocco (2014) fez uma grande revisão sobre o uso da EVT em finanças. As principais aplicações encontradas foram o teste de suposições para diferentes distribuições dos dados, cálculo de medidas de risco como o VaR e ES, alocação de ativos sob restrições e otimização de portfólios, e no estudo de contágio e dependência entre mercados sob condições de alto estresse.

Mais recentemente a EVT encontrou outras formas de aplicação e cálculo. Chavez-Demoulin, Embrechts, and Hofert (2016) sugeriram um modelo onde a frequência e a severidade das perdas podem ser modeladas através da EVT com covariantes. Karmakar and Paul (2016) por sua vez, fizeram uma aplicação do modelo EVT condicional a retornos intra-diários de dezesseis mercados diferentes.

O cálculo de VaR em instituições financeiras e bancos comerciais vem sendo implementado e é requerimento do comitê de Basileia. A EVT entra como uma das metodologias utilizadas neste cálculo, Longin (2000) a utilizou e propôs um modelo para agregar o risco de uma posição de mercado, em contraste a modelos univariados apenas. Testes de estresse podem ser realizados através de sua técnica. Utilizando-se de dados reais de seis grandes bancos comerciais americanos, Berkowitz and O’Brien (2002) analisou a precisão de seus modelos VaR. Ele encontrou que os bancos são amplamente conservadores em suas estimativas de VaR, com níveis de cobertura muito acima dos valores nominais. Wong, Cheng, and Wong (2003) promoveu um estudo sobre as implicações da precisão do modelo VaR no gerenciamento do risco de mercado em bancos. Ele adotou os critérios de Basileia para realizar um estudo de backtest e verificou que modelos baseados em previsões de volatilidade através de GARCH não estão de acordo com estes critérios por muitas vezes. Já em um estudo recente, O’Brien and Szerszeń (2017) fez uma avaliação dos modelos de risco de mercado de bancos no pré, durante e pós crise financeira de 2008. Encontrou que tanto no pré quanto no pós crise, os bancos se comportaram de maneira excessivamente conservadora, entretanto, durante a crise financeira as violações ao VaR excederam muito seu valor esperado assim como aconteceram de forma agrupada, um sinal de má especificação nos modelos adotados. O autor comparou estes resultados com um modelo baseado em GARCH e verificou que esta alternativa é muito superior aos atuais modelos.

Conclusão

A avaliação da probabilidade de eventos raros e extremos é uma questão importante no gerenciamento de riscos das carteiras financeiras. A teoria dos valores extremos fornece os fundamentos sólidos necessários para a modelagem estatística de tais eventos e o cálculo de medidas de risco extremo. Não somente a teoria é adequada para este tipo de modelagem, como também é requerido das instituições financeiras que façam suas estimativas de risco de cauda de maneira conservadora mas realista com as atuais condições de mercado. Seja qual for a medida de risco de mercado desejada, VaR ou ES, a EVT através do método POT vem sendo utilizada com excelentes resultados e tem se tornado a prática de mercado.

Em um próximo artigo faremos uso da EVT e outras técnicas de modelagem de VaR para avaliar, através de testes estatísticos, a capacidade preditiva de sete modelos distintos de cálculo da métrica de valor em risco comumente encontrados na literatura, por meio da técnica de backtesting. Os testes aplicados abrangem características importantes do VaR como cobertura incondicional, independência entre violações e superioridade do modelo dada uma função de perda adequada.