VaR Tools

Risco em Portfólio: Métodos Análiticos

No artigo, Value At Risk, foi introduzido o conceito por trás dessa medida de risco e foram abordados conceitos como origem, técnicas de estimação e até mesmo suas deficiências. Neste artigo, iremos trabalhar em cima dessa medida trazendo o conceito e aplicação de outras ferramentas que permitem gestores controlarem melhor os riscos de um portfólio.

Essas ferramentas, denominadas VaR Tools, são essenciais para que os investidores possam identificar os ativos que mais contribuem para o risco total de uma carteira. Também, são usadas para chegar no melhor hedge da carteira, e selecionar os ativos de risco alinhados com melhores retornos.

Portfólio

Em termos gerais, um portfólio é caracterizado como um conjunto de aplicações do investidor, que reúne todos os ativos financeiros escolhidos para realizar investimentos. Esse portfólio permite a diversificação de ativos bem como a minimização de riscos, trazendo mais ganhos ao investidor e menos volatilidade do capital. E se as posições desse portfólio são fixadas durante um período, a taxa de retorno do portfólio é uma combinação linear dos retornos dos ativos subjacentes, onde os pesos são dados pelos montantes investidos no começo do período.

A taxa de retorno do portfólio de t para t + 1 pode ser definida como:

\[ R_{p,t+1}=\sum_i^Nw_{i}R_{i,t+1} \]

Sabendo que N é o número de ativos \(R_{i,t+1}\), é a taxa de retorno do ativo i, e \(w_{i}\) é o peso do ativo.

VaR Tools

O Value At Risk, inicialmente, foi desenvolvido como uma medida para mensurar o risco de um portfólio. Porém, há muito mais por trás do VaR do que uma mensuração de um simples número.

Com o tempo, os gestores puderam encontrar maneiras de usar o VaR para realmente gerir riscos, e foi levantado a pergunta: “Que posições eu devo alterar na minha carteira, para que o VaR seja mais eficiente?”

Para responder a esta pergunta, entramos no propósito deste artigo: as VaR Tools, que incluem a marginal, a incremental e a componente.

Marginal VaR

Os VaRs individuais dos ativos são ineficientes para mensurar as mudanças de posições em portfólios, por conta que eles não levam os poderes da diversificação. O que realmente importa é o VaR individual de cada ativo levando em conta a diversificação, que pode ser encontrado através das VaR Tools.

Tendo em vista a ineficiência do VaR individual dos ativos na mensuração de mudanças de posições num portfólio e a volatilidade no retorno de um ativo, passa-se a analisar a contribuição dele para o risco do portfólio utilizando o Marginal VaR.

Um portfólio hipotético existente, é feito com um número N de ativos numerados de j = 1, …, N. Esse portfólio é alterado quando adicionamos uma nova unidade de um ativo i. E para ter conhecimento do impacto dessa adição de unidade, pode ser calculado a contribuição “marginal” do risco.

Essa contribuição marginal, chamada de Marginal VaR, habilita os gestores de riscos a estudarem os efeitos da adição ou subtração de posições de investimento em um portfólio.

E dado que o VaR é afetado pela correlação dos ativos, não é suficiente considerar os ativos individualmente. Eles devem ser comparados com o portfólio total para determinar a contribuição real.

Em teoria, podemos explicar o marginal VaR como a mudança no portfólio VaR resultado da adição de uma unidade de um certo componente.

Colocando em fórmulas, podemos correlacionar o marginal VaR \(\triangle VAR_{i}\) e o Beta \(\beta\), que mede a contribuição de um ativo para o risco total do portfólio, como:

\[ \triangle VaR_{i}=\frac{∂VAR}{∂x_{i}}=\alpha(\beta_{i}\sigma_{p})=\frac{VAR}{W}x\beta_{i} \]

O marginal VaR pode ser usado com diferentes formas e propósitos de gerenciamento de risco. Pode-se supor, como exemplo, que um investidor tenha uma carteira com diferentes tipos de ativos e ele deseje reduzir o VaR. Ele pode ranquear todos os marginais VaRs e pegar aquele com maior \triangle VAR porque será o que trará o maior efeito de hedging.

Incremental VaR

A metodologia do marginal var pode ser estendida para calcular o total impacto de uma mudança em um portfólio p. Um novo trade é realizado, agora através da adição de uma posição a.

Deve ser medida a adição deste novo trade, para chegar no incremental var, através da medição do VaR do portfólio inicial \(VAR_{p}\) juntamente com o cálculo do VaR com a nova posição \(VAR_{p+a}\). O var incremental é obtido usando a fórmula abaixo:

\[ Incremental VaR=VaR_{p+a}- VaR_{p}\]

Esse antes e depois é bastante informativo. Se o VaR diminuir, estamos fazendo um hedging, ou redução de risco, se o VaR aumentar estamos aumentando o risco.

Um grande ponto dessa técnica é que ela requer uma reavaliação total do novo portfólio VaR com o novo trade a. E isso pode ser bastante difícil para grandes portfólios, por que pode demorar para calcular o novo VaR.

Mas, caso o gestor prefira uma melhor aproximação do resultado real para poupar tempo de computação, pode-se tomar um atalho. O Incremental VaR é capaz de ser calculado utilizando-se do marginal VaR:

\[ Incremental VaR=(∆VaR)` α\]

Então estaríamos trocando um tempo de computação por uma acurácia menor.

Componente VaR

Outra VaR Tool extremamente necessária para a gestão de risco é a Component VaR.

Ao invés disso, precisamos de um aditivo de decomposição do VaR que reconhece os poderes de diversificação. E, por isso, utilizamos a marginal VaR como uma ferramenta para medir a contribuição de risco de cada ativo existente no portfólio.

\[ Component VaR=(∆VaR)` w_i W\]

O Component VaR indica quanto do portfólio VaR irá se alterar, aproximadamente, caso um componente seja removido do portfólio. Os componentes do VaR adicionados juntos dão o valor do portfólio total:

\[ VaR=CVaR_1+ CVaR_2+⋯+ CVaR_N=VaR\sum_{i=1}^Nw_i β_i)\]

O cálculo pode ser simplificado tomando em consideração que \(\beta_{i}\) é igual a correlação \(\rho\) vezes o desvio padrão do ativo \(\sigma_{i}\) dividido pelo desvio padrão do portfólio \(\sigma_{p}\).

\[ CVaR_i=VaRw_{i}β_i= VaR_iρ_i\]

Sumarização das VaR Tools

O gráfico abaixo, traz uma sumarização das VaR Tools. Na posição de 1 milhão, o VaR do portfólio é de $257.738. O Marginal VaR é a mudança no VaR devido a adição de $1 em euro. Isso é representado pela inclinação da linha reta que é tangente ao VaR da curva.

O Incremental VaR é a mudança no VaR devido a eliminação da posição em euro, que é de $92,738 e medido ao longo da curva. Isso é aproximado com o Componente VaR, que é simplesmente o marginal VaR vezes a posição corrente de 1 milhão, ou $152,108.

O gráfico também mostra que a posição de melhor hedge seria com uma posição zero em euro. Essas mudanças podem ser todas vistas através da tabela abaixo:

Esta tabela além de sumarizar o gráfico também traz a importância do uso do Marginal VaR e Component VaR. A coluna da marginal VaR pode ser usada para determinar como diminuir o risco. Dado que o marginal VaR do euro é superior ao do dólar canadense, cortar a posição em euro pode ser muito mais efetivo do que cortar a posição em dólar canadense.

Mnimização de Risco de Portfólio

Para minimizações de risco em portfólio, as posições devem ser cortadas onde o marginal VaR é o maior, assim se mantém um portfólio adequado. Se um portfólio está com risco alto e precisa ser reinvestido, as posições que apresentarem menor marginal VaR podem ser adicionadas para fazer as primeiras mudanças.

Esse processo pode ser repetido até o ponto que o portfólio chegar no risco mínimo, nesse ponto todos os VaR marginais e os betas dos portfólios devem ser iguais:

\[ ∆VaR_i= VaR\div Wβ_i=constante\]

A tabela abaixo ilustra esse processo com duas posições em um portfólio. A posição original é $2 milhões em dólares canadenses e $1 milhão em euro, gerando um VaR de $257,738, ou volatilidade do portfólio de 15,62 por cento. O marginal VaR do euro é de 0.1521, que é maior do que o do dólar canadense.

Como resultado, a posição em euro deve ser cortada adicionando posição em dólar canadense. A tabela mostra, a posição final com o risco diminuído. O peso do euro foi diminuído de 33,33 para 14,79 por cento. A volatilidade do portfólio foi diminuída de 15,62 para 13,85 por cento. E também é possível verificar que o beta de todas as posições é igual quando o risco é minimizado.

Risco e Retorno

Até então foi discutido medidas para se calcular o risco em portfólios. O Próximo passo é considerar o retorno esperado de um portfólio, assim como o risco.

É definido \(E_{p}\) como o retorno esperado do portfólio. Isso é a combinação linear dos retornos esperados de cada componente da posição. E para simplificar os cálculos, podemos tomar como base que todos os retornos dos ativos serão considerados como a taxa livre de risco.

\[ E_p \sum_i^Nw_iE_ie\]

Pode-se definir que a melhor combinação de portfólios é aquela que minimiza o risco, mediante diferentes níveis de retornos esperados. Isso é definido com a fronteira eficiente, que é representada na linha sólida do gráfico.

Supondo que o objetivo principal é de maximizar o retorno esperado em relação ao risco, pode-se, usar a medida de risco ajustada, Sharpe Ratio:

\[ SR_p=E_p\div \sigma_p\]

A pergunta que pode ser feita é: “Como mudamos da posição atual para o portfólio ótimo?”

Nós agora queremos, para chegar no portfólio ótimo, o ratio em que todos os retornos esperados dos marginais VaRs devem ser iguais. Isso pode ser demonstrado através da fórmula abaixo:

\[ E_{i}/∆VaR_{i}=E_{i}/β_{i}=constante\]

A tabela abaixo mostra nossa posição em duas moedas, para cada assumimos um \(E{1}\) = 8 por cento e um \(E_{2}\) = 5 por cento. A posição original tem um Sharpe Ratio de 0.448, e o ratio do dólar canadense é de 0.1301. Isso implica que a posição em dólar canadense deve ser aumentada para melhorar a performance do portfólio.

Na melhor posição, o peso do dólar canadense foi de 66,67 para 90,21 por cento. A Sharpe Ratio do portfólio foi aumentada substancialmente de 0.448 para 0.551. E é possível verificar que as ratios são idênticas para os dois ativos no modelo otimizado.

Exemplo em Prática

Considere um portfólio com duas moedas estrangeiras, o dólar canadense (CAD) e o euro (EUR). Assuma também que essas duas moedas não são correlacionadas e apresentam uma volatilidade contra o dólar de 5% e 12%. Esse portfólio tem investido 2 milhões em dólares canadenses e 1 milhão em euro.

Realizando os cálculos para encontrar o VaR individual, e não diversificado, encontramos:

\[ [VAR_1 \ VAR_2 ]= [1.65 \ x \ 0.05 \ x \ 2 milhões\quad 1.65 \ x \ 0.12 \ x \ 1 milhão] = [165,000 \quad 198,000]\]

Esses números somados, nos garantem um VaR não diversificado de $363,000, o que é maior que o VaR do portfólio diversificado de 257,738, graças aos efeitos da diversificação.

Nós agora queremos adicionar uma posição aumentando em US$10,000 em dólar canadense. Primeiro, nós iremos calcular o método do VaR marginal.

\[ ∆VAR= α \ cov(R,R_P))\divσ_P =1.65 \ [$0.0050 \quad 0.00144]\div$0.156= [0.0528 \quad 0.1521]\]

Assim, nós acrescentamos a posição inicial com $10,000, o incremental VaR é:

\[ (∆VAR)`α= [0.0528 \quad 0.1521][$10,000 \quad 0 ]=0.0528 \ x $10,000+0.1521 \ x \ 0=$528\]

E ainda podemos comparar esse valor de incremental VaR obtendo a partir da reavaliação total da carteira. Adicionando $0.01 milhão na posição inicial, encontramos:

\[ \sigma_{p+a}^2W_{p+a}^2= [$2.01 \quad $1][0.05^2 \quad 0 \quad 0 \quad 0.12^2 ][$2.01 \quad $1]\]

O que nos dá um \(VAR_{p+a}\) = $258,267. Em relação ao \(VAR_{p}\) inicial de $257,738, o exato incremento foi de $529. Note o quão perto o cálculo do incremental VaR usando o marginal se aproximou do cálculo com a reavaliação total. Essa aproximação linear acabou sendo excelente por conta da mudança de posição ser bem pequena.

Continuando com essas duas posições, podemos calcular o componente VaR do portfólio usando \(CVAR_{i}=\triangle VAR_{i}x_{i}\) que é:

\[ [CVAR_1 \quad CVAR_2]=[0.0528 \ x \ $2 milhões \quad 0.1521 \ x \ 1 milhão]= [$105,630 \quad $152,108]=VAR[0.41 \quad 0.59]\]

Se verifica que estes dois componentes somados juntos dão o total valor de VaR de $257,738. O maior componente é o euro, que apresenta a maior volatilidade. Podemos calcular a mudança no VaR se a posição do euro for zerada. Como o portfólio apresenta somente dois ativos, o novo VaR sem a posição em euro é simplesmente o VaR individual da posição em dólar canadense, . O VaR incremental da posição em euro é de ($257,738 – $165,000) = $92,738.